Центральная предельная теорема (ЦПТ)

Центральная предельная теорема теории вероятностей (теорема

Ляпунова) устанавливает условие, при котором предельный закон распределения суммы , когда число слагаемых неограниченно возрастает является нормальным.

Сформулируем и докажем простейшую форму ЦПТ, когда СВ Х₁,Х₂, …, Х_n взаимно независимы и одинаково распределены.

Теорема. Если СВ Х₁, Х₂, …, Х_n взаимно независимы и имеют один и тот же закон распределения с МОЖ m и дисперсией , то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному.

Для доказательства этой теоремы А.М. Ляпунов в 1900 г. создал специальный метод характеристических функций.

Характеристической функцией СВ Х называется функция .

Где j – мнимая единица.

Зная закон распределения СВ Х можно найти ее ХФ.

Для дискретной СВ Х с плотностью распределения

ХФ ,

Для непрерывной СВ Х с плотностью распределения f(x) ХФ

.

Как видно из формулы ХФ является преобразованием Фурье соответствующей ей плотности распределения . Из теории преобразований Фурье известно, что может быть определенна путем обратного преобразования Фурье.

Свойство 1. ХФ вещественна тогда и только тогда, когда соответствующая плотность распределения является четной функцией. При этом сама функция является также четной.

Справедливость этого свойства следует из свойств преобразований Фурье.

Свойство 2. Если случайные величины Х и Y связанны соотношением Y=aX, где a – неслучайный множитель, то их ХФ связанны соотношением

.

Доказательство:

Свойство 3. ХФ суммы независимых СВ равна произведению ХФ слагаемых.

Доказательство: Х₁, Х₂, …, Х_n – независимые СВ, имеющие соответственно ХФ g_Х1(t), g_Х2(t), …, g_Хn(t). Найдем ХФ СВ . Имеем

Так как Х_к(к=1, 2, …, n) независимы, то независимы и функции , потеореме умножения МОЖ получим

Вернемся к доказательству ЦПТ .

Т.к. СВ Х₁, Х₂, …, Х_n имеют один и тот же закон распределения, то они имеют одну и ту же ХФ g_х(t). Следовательно в силу свойства 3 ХФ

Разложим функцию g_х(t) по формуле Маклорена, ограничиваясь тремя членами

Остаточный член по форме Лагранжа имеет вид a(t)®0, при t®0.

При определении коэффициентов разложения и оценке остаточного члена a(t) положим, что СВ Х_i непрерывны с плотностью распределения f(x). В таком случае и при t=0

.

Положим, что m=0 тогда