Нормальное распределение на плоскости.
Из всех законов распределения системы двух СВ наибольшее распространение на практике имеет нормальное распределение. Рассмотрим нормальное распределение для системы двух независимых СВ
f1(x)= f2(y)=
следовательно:
f(x,y)=f1(x)f2(y)=
если центр рассеивания совпадает с началом координат, то есть mx=my=0 и следовательно f(x,y)=
Последнее выражение называется канонической формой нормального распределения на плоскости.
Для выяснения вида поверхности распределения будем применять метод сечения.
Условие: Z=Z0=const
Z= f(x,y)= ,т.е.
+ =k2 (k=const),преобразуем последнее к виду
+ =1- уравнение эллипса, главные полуоси которого пропорциональны и совпадают соответственно с осями Ox и Oy, а центр находится в начале координат. Т.к. kможет меняться от 0 до ∞, то мы имеем семейство подобных и одинаково расположенных эллипсов. Они называются эллипсами разной плотности или эллипсами рассеивания.
Пересекая поверхность распределения плоскостями параллельными координатами плоскости yOz или xOz мы будем получать кривые, подобные кривым нормального распределения.
если mx 0 и my 0 имеем поверхность полученную параллельным переносом описанной выше поверхности с осевой линией пересекающей плоскость xOy в точке (mx my).
Подсчитаем вероятность попадания точки в прямоугольник со сторонами, параллельными осями координат.
Рассмотрим теперь нормальное распределение на плоскости для зависимых СВ
Закон распределения зависит от пяти параметров: mx, my, ,rxy .
mx, my – МОЖ СВ X и Y соответственно - СКО СВ X и Yсоответственно rxy – коэффициент корреляции СВ X и Y.
Рассмотрим уравнение
= k2
Анализируя уравнение обычным методами аналитической геометрии, убеждаемся в том, что оно представляет эллипс, центр которого находится в точке с координатами (mx, my), а оси симметрии такого эллипса составляют с осью Ox углы, определяемые уравнением
Уравнение дают два значения углов α1 и α2
различающихся по величине . Из уравнения следует, что ориентация эллипсов рассеивается относительно координатных осей, находится в прямой зависимости от коэффициента корреляции системы (X,Y) . Если X и Y не коррелированны ( ), то главные оси параллельны координатным осям.
Используя логику вышеприведенного не сложно получить характеристики условного закона распределения
M[Y/X=x]=my(x)=my+rxy
M[X/ Y =y]=mx(y)=mx+rxy
= ; =
Формулы показывают, что линии регрессии Y по X и X по Yв случае нормального распределения являются прямыми линиями и проходят через точку (mx ,my)
Y=my - (x-mx); X=mx - (y-my).
- коэффициенты линии регрессии
Дата добавления: 2016-03-05; просмотров: 1121;