Занятие 2. Теорема Гаусса. Поле в диэлектрике
|
|
поля", P поляризованности (5.70)из раздела 5.2 "Электростатическое поле в диэлектрике. Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля" и D электрического смещения (5.87) из раздела 5.2 "Электростатическое поле в диэлектрике.Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля " представляют собой цилиндрическое векторное поле, поскольку все эти векторы(рис. 5.2.1) ориентированы перпендикулярно OZ оси, направленыс учётом q+ положительногосвободногозарядас σ+ поверхностнойплотностью навнутреннемцилиндре и q- отрицательногосвободногозаряда с σ-поверхностнойплотностьюнавнешнемцилиндре отэтой OZ оси.
Относительнаяεдиэлектрическая проницаемость диэлектрика непостоянна по всему объёму между внутренними внешнимцилиндром и зависит только от r длины(рис.2.1), т.е. модуля r радиуса-вектора, направленного по er орту из O начала координат основной OХY плоскости в проекцию на эту основную OХY плоскость цилиндрическойсистемы координат P точки, поэтому в этой P точке относительная εдиэлектрическая проницаемость диэлектрикаимеетследующее значение: ε = 10R2/(R2 + r2), (1.1) где (рис. 05.2.1) R ≤ r ≤ 3R. Выберем l длину (рис.5.1)цилиндрического конденсатора, равную единице длины, т.е. одномуметру,тогда емкостьэтого цилиндрического конденсатораравняется C0 погонной емкости, а q+ погонный заряд на внутреннейобкладке цилиндрического конденсатора, заряженного до U напряжения, имеет следующий вид: q+ = C0U, Кл/м.(1.2)
Согласно теореме Гаусса (5.87) из раздела 5.2 "Электростатическое поле в диэлектрике.Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля " поток ND вектора D электрического смещения череззамкнутую поверхность S площадью воображаемогоцилиндра l длиной и (рис. 5.1) с r радиусом, находящегося в диэлектрике между внутренними внешнимцилиндром и охватывающего свободныезаряды q+ на внутреннемцилиндре, имеет следующий вид: ∫ DdS= q+. (1.3) (S) Векторы D электрического смещения представляют собой цилиндрическое векторное поле инаправленыперпендикулярно боковойповерхностивоображаемогоцилиндра S = 2πrl площадью,т.е. соcтавляющая вектора DX электрического смещения,направленнаяпо eX орту (рис. 05.2.1) или перпендикулярнооснованиям этого воображаемогоцилиндра, равна нулю. Поэтому поверхностныйинтеграл (1.3) через боковуюповерхностьвоображаемогоцилиндра l длиной, т.е. S = 2πrl площадью имеет следующий вид: ∫ DdS=Dr2πrl = q+l, (1.4) (S)
где Dr - проекция на направление орта er вектора D электрического смещения в диэлектрике.Подставляем q+ погонный заряд (1.2) на внутреннейобкладке цилиндрического конденсатора, заряженного до U напряжения, в (1.4) и получаем следующее выражение, определяющее Dr проекциюна направление (рис. 5.1)орта er вектора D электрического смещения в диэлектрике между внутренними внешнимцилиндром: Dr = C0U/2πr, Кл/м2,(1.5) где R ≤ r ≤3R; r - модуль r радиуса-вектора, направленного по er орту из начала O координат OХY основной плоскости в проекцию на неё P точки, в которой определяется эта Dr проекция.
Вектор D электрического смещения направлен (рис. 5.1)перпендикулярно боковойповерхностивоображаемогоцилиндра с величиной r радиуса.
Согласно (5.87) из раздела 5.2 "Электростатическое поле в диэлектрике. Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля " Er проекцияна направление
(рис. 5.1)орта er вектора E напряжённости электростатического поля в диэлектрике связана с Dr проекцией на направление er орта вектора D электрического смещения в диэлектрике между внутренними внешнимцилиндром следующим соотношением: Er = Dr/ε0ε, В/м. (1.6)Подставляем (1.5)проекцию Dr на направление (рис. 5.1)орта er вектора D электрического смещения в диэлектрике и (1.1) относительнуюεдиэлектрическую проницаемость диэлектрика между внутренними внешнимцилиндром в (1.6) выражение и получаем следующее выражение Er проекциина направление er орта вектора E напряжённости электростатического поля в диэлектрике: Er = C0U(R2 + r2)/20πε0rR2, В/м.(1.7) где 3R ≤ r ≤ R; r - модуль r радиуса-вектора, направленного по er орту из начала O координат
OХY основной плоскости в проекцию на неё P точки, в которой определяется эта Er проекция; C0 - погонная емкость цилиндрического конденсатора, заряженного доU напряжения.
Вектор E напряжённостиэлектростатического поля коллинеарен вектору D электрического смещения, т.к. направлен (рис.05.2.1)перпендикулярно боковойповерхностивоображаемогоцилиндра с величиной r радиуса.
Согласно (5.86)из раздела 5.2 "Электростатическое поле в диэлектрике.Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля " проекция Pr на направление (рис.5.1)орта er вектора P поляризованностидиэлектрика связанас (1.5) проекцией Dr на направление er орта вектора D электрического смещения в диэлектрикеи (1.7) проекцией Er на направление er орта вектора E напряжённости электростатического поля в диэлектрике следующим выражением: Pr = Dr-ε0Er.(1.8) Подставляем (1.5) проекцию Dr на направление (рис.5.1)орта er вектора D электрического смещения в диэлектрике и (1.7) проекцию Er на направление er орта вектора E напряжённости электростатического поля в диэлектрике в выражение (1.8) и получаем следующее выражение для проекции Pr на направление er орта вектора P поляризованностидиэлектрика: Pr = (C0U/2πr){1 - [(R2 + r2)/10R2]}, Кл/м2. (1.9) где 3R ≤ r ≤ R; r - модуль r радиуса-вектора, направленного по er орту из начала O координат
OХY основной плоскости в проекцию на неё P точки, в которой определяется эта Pr проекция; C0 - погонная емкость, цилиндрического конденсатора, заряженного доU напряжения; R - радиусвнутреннейобкладки цилиндрического конденсатора. Вектор P поляризованности диэлектрикаколлинеарен векторам D, E соответственноэлектрического смещенияи напряжённостиэлектростатического поля, т.к. направлен (рис.5.1)перпендикулярно боковойповерхностивоображаемогоцилиндра с величиной r радиуса. Согласно (5.127) из раздела 5.2 "Электростатическое поле в диэлектрике. Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля " для нахождения φ1 - φ2 разности потенциаловмежду (рис. 5.1) соответственно внутренними внешнимцилиндром необходимо произвести интегрирование (1.7) проекции Er на направление er орта вектора E напряжённости электростатического поля в диэлектрике по r модулю r радиуса-вектора, направленного по er орту из начала O координат OХY основной плоскости в проекции на неё M1, M2 точек.
Проекция M1 точки, лежащей на поверхности внутреннего цилиндра, на OХY основную плоскость цилиндрическойсистемы координат удалена от начала O координатна величину r модуля
r радиуса-вектора, равного Rрадиусу этоговнутреннегоцилиндра.
Проекция точки M2, лежащей на поверхности внешнего цилиндра, на OХY основную плоскость цилиндрическойсистемы координат удалена от начала O координатна величину r модуляr радиуса-вектора, равного 3Rрадиусуэтоговнешнего цилиндра.
Поэтому (5.127) из раздела 5.2 "Электростатическое поле в диэлектрике. Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля " разность потенциалов φ1 - φ2, т.е. U напряжение между (рис. 5.1) соответственно внутренними внешнимцилиндром имеет следующий вид: 3R U = ∫ Erdr.(1.10) R Подставляем (1.7) проекцию Er на направление (рис.5.1)орта er вектора E напряжённости электростатического поля в диэлектрике, которая зависит от r длины, т.е. модуля r радиуса-вектора, направленного по er орту из начала O координат OХY основной плоскости в проекцию на неё P точки, в которой определяется эта Er проекция, в (1.10) выражение. Производим интегрирование, сокращение U напряжения между внутренними внешнимцилиндром и получаем следующее выражение C0 погоннойемкости цилиндрического конденсатора: C0 = 20πε0 /(4 + ln3),Ф/м.(1.11) Проекцию PrR на направление (рис. 5.1)орта er вектора PR поляризованностидиэлектрика на границес внутренней обкладкой цилиндрического конденсатораопределим подстановкой в (1.9) модуля r = R радиуса-вектора r, направленного по er орту из начала O координат OХY основной плоскости в проекцию на неё M1 точки, в которой определяется эта PrR проекция, вследствие чего имеет место следующее выражение: PrR = 8 ε0U/R(4 + ln3), Кл/м2. (1.12) Согласно (5.75) из раздела 5.2 "Электростатическое поле в диэлектрике.Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля" поверхностнаяплотность σp- поляризационныхзарядов в диэлектрике на границес внутренней обкладкой цилиндрического конденсатора, имеющей R радиус,равна Pn1,R проекциина направление (рис.2.1)внешней n1 нормали к внутренней поверхности диэлектрика вектора PRполяризованности.
Согласно рис. 5.1 внешняя n1нормаль к внутренней поверхности диэлектриканаправлена к центру цилиндрического конденсатора, а вектор PR поляризованности диэлектрика на границес внутренней обкладкой цилиндрического конденсаторанаправлен от центраэтогоцилиндрического конденсатора, поэтому Pn1,R проекция на направление внешней n1нормали к внутренней поверхности диэлектрика вектора PR поляризованности отрицательна и поверхностнаяплотность σp- поляризационныхзарядов на границес внутренней обкладкой цилиндрического конденсатора, имеющей R радиус, согласно (5.75) из раздела 5.2 "Электростатическое поле в диэлектрике. Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля ", с учётом (1.12) тоже отрицательнаиимеет следующий вид:
σp- = Pn1,R = -PrR = - 8 ε0U/R(4 + ln3), Кл/м2, (1.13) где Pn1,R = - PrR - проекция Pn1R на направление внешней n1 нормали к внутренней поверхности диэлектрика вектора PR поляризованности равняется(1.12) с противоположным знаком проекции PrR на направление (рис. 5.1)орта er вектора PR поляризованностидиэлектрика на границес внутренней обкладкой цилиндрического конденсатора, поскольку er орт коллинеарен внешней
n1 нормали и направлены эти векторы в противоположные стороны.
Проекцию Pr3R на направление (рис.5.1)орта er вектора P3Rполяризованностидиэлектрика на границес внешней обкладкой цилиндрического конденсатораопределим подстановкой в (1.9) модуля r = 3R радиуса-вектора r, направленного по er ортуиз начала O координат OХY основной плоскости в проекцию на неё M2 точки, в которой определяется эта Pr3R проекция, вследствие чего имеет место следующее выражение: Pr3R = 0, Кл/м2. (1.14) Согласно (5.75) из раздела 5.2 "Электростатическое поле в диэлектрике. Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля " поверхностнаяплотность
σp+ поляризационныхзарядов в диэлектрике на границес внешней обкладкой цилиндрического конденсатора, имеющей 3R радиус,равна Pn2,3R проекциина направление (рис.2.1)внешней
n2 нормали к внешней поверхности диэлектрика вектора P3Rполяризованности.
Согласно (1.14) проекция Pr3Rна направление (рис.5.1)орта er вектора P3Rполяризованностидиэлектрика на границес внешней обкладкой цилиндрического конденсатора равна нулю, поэтому поверхностнаяплотность σp+ поляризационныхзарядовтоже равна нулю, вследствие чего имеет место следующее выражение: σp+ = Pn2,3R = Pr3R = 0, Кл/м2, (1.15)
где Pn2,3R = Pr3R - проекция Pn2,3R на направление внешней n2 нормали к внешней поверхности диэлектрика вектора P3Rполяризованностиравняется(1.14) проекции Pr3R на направление (рис.2.1)орта er вектора P3Rполяризованностидиэлектрика на границес внешней обкладкой цилиндрического конденсатора, поскольку er орт коллинеарен внешней
n2 нормали и направлены эти векторы в однусторону.
Объёмное(5.83) из раздела 5.2 "Электростатическое поле в диэлектрике. Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля" распределение ρpплотности поляризационных зарядовс учётом определения divP дивергенциивектора P поляризованностидиэлектрика, направленного (рис.5.1) по er орту в цилиндрическом векторном поле, имеет следующий вид: ρp = - divP= - (1/r)∂(rP)/∂r. (1.16) Подставляем (1.9) проекцию Pr на направление (рис.5.1)орта er вектора
P поляризованностидиэлектрика, который зависит от r модуля r радиуса-вектора, направленного по
er орту из начала O координат OХY основной плоскости в проекцию на неё P точки, в которой определяется эта Pr проекция и получаем следующее выражение распределенияρpплотности поляризационных зарядов по объёму диэлектрика: ρp = (C0U)/10πR2, Кл/м3. (1.17) Подставляем выражение(1.11) C0 погоннойемкости цилиндрического конденсатора в выражение (1.17) и получаем следующее окончательное выражение распределенияρpплотности поляризационных зарядовпо объёму диэлектрика: ρp = 2ε0U/R2(4 + ln3), Кл/м3. (1.18) Согласно (1.18) распределениеρpплотности поляризационных зарядовпо объёму диэлектрика не зависит (рис.5.1) от r модуля r радиуса-вектора, направленного по er орту из начала
O координат OХY основной плоскости в проекцию на неё P точки, в которой определяется это распределение ρpплотности поляризационных зарядов, т.е. является постоянной и положительной величиной. Таким образом, поляризационные зарядыраспределеныравномерно по объёму диэлектрика между внутреннейи внешнейобкладкой цилиндрического конденсатора и имеют положительный знак.
Элементарный (рис. 5.2) dqpρположительный поляризационный заряд, находящийся в цилиндрическом слое r радиусом с dr элементарной толщиной и l длиной, с учётом выражения (1.18) распределенияρpплотности поляризационных зарядов по объёму диэлектрика, а также с учётом dV = 2πrldr элементарного объёма этогоцилиндрического слоя имеет следующий вид: dqpρ = ρpdV = 4πε0Urldr/R2(4 + ln3). (1.19)Полный qpρ положительный поляризационный заряд (рис. 5.2) в объёме диэлектрика между внутреннейс R радиусом и внешнейс 3R радиусом обкладкой цилиндрического конденсатора получаем следующим интегрированием (1.19) элементарного (рис.5.2) dqpρположительного
|
Полный qpσ поляризационный заряд на поверхностях диэлектрикаскладываетсяизполяризационныхзарядов на границес внутренней обкладкой цилиндрического конденсатора, имеющей R радиус и σp- отрицательную поверхностную(1.13)плотностьэтих поляризационныхзарядов, а также изполяризационныхзарядов на границес внешней обкладкой цилиндрического конденсатора, имеющей3R радиус и σp+ положительную поверхностную(1.15)плотностьэтих поляризационныхзарядов.
Согласно (1.15)поверхностнаяσp+ плотность поляризационныхзарядовна границес внешней обкладкой цилиндрического конденсатора, имеющей 3R радиус, равна нулю, поэтому полный qpσ поляризационный заряд на поверхностях диэлектрикабудет определяться толькоповерхностной(1.13) σp- плотностью отрицательных поляризационныхзарядов на границес внутренней обкладкой цилиндрического конденсатора, имеющей R радиус и S = 2πRl площадь, вследствие чего для этого полного qpσ поляризационного заряда на поверхностях диэлектрика имеет место следующее выражение: qpσ = σp- 2πRl, Кл.(1.21) Подставляем (1.13)в (1.21) и получаем следующее выражение для полного
qpσполяризационного заряда на поверхностях диэлектрика, который имеет отрицательное значение вследствие того, что он определяется толькоповерхностнойσp-плотностью отрицательных поляризационныхзарядов на границес внутренней обкладкой цилиндрического конденсатора, имеющей R радиус: qpσ = -16πε0lU/(4 + ln3), Кл. (1.22) Диэлектрик(рис. 05.2.1) между внутреннейс R радиусом и внешнейс 3R радиусом обкладкой цилиндрического конденсатора до приложения между этими внутренним с Rрадиусом и внешнимс 3R радиусом цилиндрами U напряжения был электронейтрален. Согласно параграфу "Поляризация диэлектриков в электростатическом поле. Свободные заряды, связанные заряды в поляризованном диэлектрике"из раздела 5.2 "Электростатическое поле в диэлектрике. Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля"закону сохранения электрического заряда алгебраическая сумма электрических зарядовтел или частиц, образующих электрически изолированнуюсистему не изменяется при любых процессах, происходящих в этой системе, вследствие чего после приложения между внутреннейс R радиусом и внешнейс 3R радиусом обкладкой цилиндрического конденсатора U напряжения диэлектрик должен остаться электронейтральным. Это означает равенство нулюq∑ суммарного заряда после приложения между внутреннейс R радиусом и внешнейс 3R радиусом обкладкой цилиндрического конденсатора U напряжения, т.е. равенство нулю суммыполного (1.20) qpρполяризационного заряда в объёме диэлектрикас полным (1.22) qpσ поляризационным зарядом на поверхностях диэлектрика, т.е. выполнения следующего равенства: q∑ = qpρ + qpσ = 0. (1.23) Выполнение (1.23) равенства свидетельствует о правильностирасчёта.
|
находящейся на внутреннейс R радиусом обкладке цилиндрического конденсатора с использованием (1.5) имеет следующий вид: Dr(r)/Dr(R) = R/r, (1.24)
где 3R ≤ r ≤ R.
Максимальное(рис.5.2.3) Drmaxзначение проекция Dr(r) на направление (рис.5.2.1)орта er вектора D электрического смещения принимает в точках диэлектрика, находящихся на внутреннейс
R радиусом обкладке цилиндрического конденсатораи имеющее (1.5), (1.11) следующее значение: Drmax= C0U/2πR = 20πε0U/(4 + ln3)2πR =10ε0U/(4 + ln3)R. (1.25) Отношение проекции Er(r) на направление (рис. 05.2.3)орта er вектора E напряжённости электростатического поля в произвольной точке диэлектрика, находящейся (рис.2.1) на r расстояниимежду внутреннейс R радиусом и внешнейс 3R радиусом обкладкой цилиндрического конденсатора, к проекции Er(R) на направление er орта вектора ER напряжённости электростатического поля в точке диэлектрика, находящейся на внутреннейс R радиусом обкладке цилиндрического конденсатора с использованием (1.7) имеет следующий вид: Er(r)/ Er(R) = (R2 + r2)/2rR, (1.26) где 3R ≤ r ≤ R.
Максимальное(рис.5.2.3) Ermaxзначение проекции Er(R) на направление (рис.5.2.1)орта er вектора E напряжённости электростатического поляпринимает в точках диэлектрика, находящихся на внешнемс 3R радиусом обкладке цилиндрического конденсатора и имеющее (1.7), (1.11) следующее значение:
Ermax = C0U(R2 + 9R2)/20πε03RR2 = 20πε0U10R2/(4 + ln3)20πε03R3 =10U/(4 + ln3)3R.(1.27)
Задача 1
Внутри шара R = 3, 00 см радиусом из однородного изотропного диэлектрика с
ε = 5, 00 относительной диэлектрической проницаемостью создано однородноеэлектрическое поле с модулем E = 100 В/м вектора E напряжённости этого электрического поля.Найти максимальную
σpmax поверхностнуюплотностьполяризационныхзарядов этого шара и его полный
qp поляризационныйзаряд одного знака. Дано: R; ε; E / σpmax = ? qp = ?
Согласно (5.70)из раздела 5.2 "Электростатическое поле в диэлектрике. Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля"у изотропногодиэлектрика χ = ε - 1 относительная диэлектрическая χвосприимчивостьвещества величина скалярнаяи вектор
P поляризованностисовпадает по направлению свектором E напряжённостиэлектрическогополя в этом диэлектрике, вследствие чего имеет место следующее выражение: P = ε0χE = ε0(ε - 1)E,(2.1)где χ = (ε - 1) - где χ относительная диэлектрическаявосприимчивостьвещества связана согласно (5.87) из раздела 5.2 "Электростатическое поле в диэлектрике.Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля"cε относительной диэлектрическойпроницаемостью этого вещества.
Согласно (5.75) из раздела 5.2 "Электростатическое поле в диэлектрике. Электрическое поле заряженных проводников. Энергия электростатического поля " σp поверхностнаяплотностьполяризационныхзарядовравна следующей Pn проекциина внешнюю nнормаль к поверхности диэлектрикавектора P поляризованностив этом диэлектрике:
σp = Pn = Pcos(P^n)=ε0(ε - 1)Ecos(E ^n),(2.2)
где (P^n) =(E ^n) - угол между вектором P поляризованностиили согласно (2.1)между вектором
E электрическогополя и внешней nнормалью к поверхности диэлектрика;
P=ε0(ε - 1)E - модуль вектора P поляризованностидиэлектрика.
Согласно условию задачи вектор E напряжённостиэлектрическогополя в шаре (рис.5.4), изготовленного из однородного изотропного диэлектрика, совпадает по направлению свнешней nнормалью к поверхности этого диэлектрикав OХY плоскости на OY оси, поэтому (2.1) вектор
P поляризованности диэлектрикана правомполушарии коллинеарени направлен в одну сторону свектором внешней n2нормали, а на левомполушарии коллинеарени направлен в противоположную сторону свектором внешней n1нормали.
На правом(рис.5.4) полушарии в OХY плоскости на OY оси(P^n) угол между вектором P поляризованностиивнешней n2нормалью численно равен 0°, поэтому (2.2) Pn проекцияна внешнюю n2нормаль к поверхности диэлектрикавектора P поляризованностив этом диэлектрике положительна,максимальна и равна P модулю вектора P поляризованностидиэлектрика.
Вследствие этого (2.2) σpmax поверхностнаяплотностьполяризационныхзарядов (рис. 5.4) на поверхностиправогополушария в OХY плоскости на OY осиположительна,максимальнаи имеет следующее значение: σpmax = ε0(ε - 1)E. (2.3) На левом(рис. 5.4) полушарии в OХY плоскости на OY оси(P^n) угол между вектором P поляризованностиивнешней n1нормалью численно равен 180°, поэтому (2.2) Pn проекцияна внешнюю n1нормаль к поверхности диэлектрикавектора P поляризованностив этом диэлектрике отрицательна,максимальна по модулю и равна P модулю вектора P поляризованностидиэлектрика с отрицательнымзнаком.
Вследствие этого (2.2) σpmax поверхностнаяплотностьполяризационныхзарядов (рис.5.4) на поверхностилевогополушария шара в OХY плоскости на OY осиотрицательна,максимальнапо модулю и имеет следующее значение: σpmax = - ε0(ε - 1)E. (2.4)
В верхнейи нижней(рис. 5.4), а также переднейи задней точках сферической поверхности соответственно по OZ, OX оси (P^n) угол между векторами P поляризованностиивнешними n3,n4, n5,n6 нормалями численно равен 90°, поэтому (2.2) Pn проекциина эти внешние n3,n4, n5,n6 нормали к поверхности диэлектрикавектора P поляризованностив диэлектрикеравны нулю.
Вследствие этого (2.2) σp поверхностнаяплотностьполяризационныхзарядов (рис. 5.4) в верхнейи нижней(рис. 5.4) точках сферической поверхности по OZ оси равна нулю.
На правом(рис. 5.4) полушарии внешние n нормали ксферической поверхности направлены в одну сторону с вектором P поляризованности диэлектрика, поэтому (2.2) Pn проекциина внешнюю nнормаль к поверхности диэлектрикавектора P поляризованностив этом правомполушарииположительны.
Вследствие этого (2.2) σp поверхностнаяплотностьполяризационныхзарядов (рис. 5.4) на поверхностиправогополушария положительна, а полный qp положительный поляризационныйзаряд на поверхностиправогополушария равен по величине и противоположен по знаку полному
qp отрицательному поляризационномузаряду на поверхностилевогополушария.
Вектор P поляризованности(рис. 5.4) в произвольнойM точке на поверхностиправогополушария направлен по OY оси, авнешняя n нормаль в этой M точке сферической поверхности диэлектрика направлена в ту же сторону, что ивектор P поляризованности, но под некоторым углом, меньшим 90°. Поэтому (2.2) Pn проекцияна внешнюю nнормаль к поверхности диэлектрикавектора
P поляризованностина поверхностиправогополушария положительна, равнаположительной
σpM поверхностнойплотностиполяризационныхзарядов (рис.5.2.4) впроизвольнойM точке этого правогополушария и имеет следующий вид: σpM =Pn= Psinφsinθ = ε0(ε - 1)Esinφsinθ, (2.5)
где φ, θ -соответственноугол долготы и полярный угол всферической системе координат, под которыми направлен радиус - векторвпроизвольнуюM точку на поверхностиправогополушария диэлектрика.
Элементарный положительныйdqp заряд на элементарной поверхности dS площадью, находящийся (рис. 5.4) в окрестности произвольнойM точки правогополушариядиэлектрикас учётом (2.5) σpM поверхностнойплотностиполяризационныхзарядов в этой произвольнойM точке имеет следующий вид: dqp = σpM dS = ε0(ε - 1)EsinφsinθR2sinθdθdφ = ε0(ε - 1)ER2sinφsin2θdφdθ, (2.6)
где dS = R2sinθdθdφ - площадь dS элементарной поверхности (9.95) из раздела 9.0 "Электромагнитные волны. Излучение" в сферической системе координат в окрестности произвольнойM точки правогополушариядиэлектрика, имеющей полярный θ уголи φ угол долготы и находящейся от
O начала координат на R расстоянии.
Полный qp положительный поляризационныйзаряд на (рис.5.4) поверхностиправогополушария S площадью равен следующему кратному интегралу от всех элементарных положительных
dqp зарядов на элементарных поверхностях dS площадью:
π π
qp = ∫dqp = ε0(ε - 1)ER2∫sinφdφ∫sin2θdθ = ε0(ε - 1)ER22(π/2) = πε0(ε - 1)ER2, (2.7)
S 0 0
где φ, θ -соответственноугол долготы и полярный угол изменяется в пределах от 0 до π.
Задача 2
Дата добавления: 2016-02-14; просмотров: 1308;