Занятие 1. Электростатическое поле в вакууме. Принцип суперпозиции. Проводники в электростатическом поле

круглой цилиндрическойповерхности I -ой четверти OXY координатной плоскости, имеет симметрично расположенный относительно 0 начала координат отрицательный dq' заряд в M' точке круглой цилиндрическойповерхности в III -ей четверти OXY координатной плоскости, равный по модулю положительному dq' заряду.

Линия (рис.5.3 а), соединяющая M' точку с M' точкой, делится пополам 0 началом координат и r расстояние от элементарной поверхности dS площадью в этих точках от 0 начала координат имеет следующее значение: r = R/cosθ,(2.5)

где θ - угол между линией, соединяющей M' и M' точки, и OXY координатной плоскостью, относительно которой элементарные поверхности dS площадью в M' и M' точках расположены симметрично.

Положительный dq' заряд, сосредоточенный (рис. 5.1.3 а) на элементарной поверхности

dS площадью в произвольной M' точке круглой цилиндрическойповерхности I -ой четверти

OXY координатной плоскости, и симметрично расположенный относительно 0 начала координат отрицательный dq' заряд в M' точке круглой цилиндрическойповерхности в III -ей четверти OXY координатной плоскости находятся на линии, соединяющей M' и M' точки. Эти dq' и dq' заряды отстоят от 0 начала координат на (2.5) одинаковомr = R/cosθ расстоянии, они противоположны по знаку и равны по модулю, поэтому в точке 0 начала координат имеют как точечные зарядывекторы dE'/2 напряженности электростатическогополя в вакууме, одинаковонаправленные и имеющие dE'/2 модули следующего значения: dE'/2 = (1/4πε₀)(dq'/r²),(2.6)

где dq' = dq' = | dq' | - модуль положительного dq' заряда, сосредоточенного (рис.5.3 а) на элементарной поверхности dS площадью в произвольной M' точке круглой цилиндрическойповерхности I -ой четверти OXY координатной плоскости, и симметрично расположенный относительно 0 начала координат отрицательного dq' заряд в M' точке круглой цилиндрическойповерхности в III -ей четверти OXY координатной плоскости.

Подставляем (2.5) r расстояние (рис.5.3 а) от элементарной поверхности dS площадью с положительным dq' и отрицательным dq' зарядами до 0 начала координат, а также подставляем (2.4) значение dq' модуля зарядов, сосредоточенных в произвольной M' точке исимметрично расположенный M' точкекруглой цилиндрическойповерхности на элементарной поверхности

dS площадью, вследствие чего получаем следующее выражение dE'/2 модуля вектора

dE'/2 напряженности электростатическогополя в вакууме от положительного dq' или отрицательного dq' заряда в точке 0 начала координат:

dE'/2 = (1/4πε₀)[(σ₀cosφ'R²/cos²θ)dφdθ]/(R/cosθ) ² =(1/4πε₀)(σ₀cosφ'dφdθ) ↔

↔ dE' = (1/2πε₀)(σ₀ cosφ'dφdθ),(2.7)

где dE' - модуль (рис.5.3 а) суммарного вектора dE' напряженности электростатическогополя в вакууме от положительного dq' и отрицательного dq' заряда в точке 0 начала координат; φ' - полярный угол цилиндрическойсистемы координат, т.е. угол долготы. Этот φ' полярный угол (рис.5.3 а) отсчитывается от OX оси до линиипересечения плоскости, в которой находятся dq' и dq' заряды.

Парасимметрично расположенных относительно OYZ координатной плоскости (рис.5.3 а) зарядам dq' и dq' (рис.5.3 б) отрицательного dq'' заряда в M'' точке круглой цилиндрической

поверхности во II -ой четверти OXY координатной плоскости и положительного dq'' заряда в M'' точке круглой цилиндрическойповерхности в IY - ой четверти OXY координатной плоскости создаёт от этих отрицательного dq'' и положительного dq'' зарядов в точке 0 начала координатсуммарныйвектор dE'' напряженности электростатическогополя в вакууме, имеющий модуль dE'', равный модулю dE',а этот вектор dE'' противоположно направлен вектору dE'напряженности электростатическогополя в вакууме (рис.5.3 а) от зарядов dq' и dq'.

Заряды(рис.5.3 а) dq' и dq', сосредоточенные на элементарной поверхности dS площадью соответственно в произвольной M' точке круглой цилиндрическойповерхности I -ой четверти

OXY координатной плоскости и симметрично расположенной относительно 0 начала координат

M' точке в III -ей четверти этой OXY координатной плоскости находятся в плоскости, перпендикулярной OXY координатной плоскости. Пересечение этой плоскости с OXY координатной плоскостью образует (рис.5.3 а) линию, составляющую φ' угол с OX осью, а эта линия составляет с

OY осью (π/2)-φ' угол.

Парасимметрично расположенных относительно OYZ координатной плоскости (рис. 5.3 а) зарядам dq' и dq' (рис. 5.3 б) отрицательного dq'' заряда в M'' точке круглой цилиндрическойповерхности во II -ой четверти OXY координатной плоскости и положительного dq'' заряда в M'' точке круглой цилиндрическойповерхности в IY - ой четверти этой OXY координатной плоскости находятся в плоскости, перпендикулярной OXY координатной плоскости. Пересечение этой плоскости с OXY координатной плоскостью образует (рис.5.3 б) линию, составляющую φ'' угол с OX осью, а эта линия составляет с OY осью (π/2)-φ' угол, поскольку отрицательный dq'' заряд в M'' точке круглой цилиндрическойповерхности во II -ой четверти OXY координатной плоскости и положительный dq'' заряда в M'' точкекруглой цилиндрическойповерхности в IY - ой четверти

OXY координатной плоскости находятся в плоскости, симметричной относительно OYZ координатной плоскости. Поэтому φ'' угол (рис.5.3 б) имеет следующее значение:

φ'' = (π/2) + (π/2)-φ' = π - φ'.(2.8)

Величина (рис.5.3 а, б) dE_X', dE_X'' проекций на OX осьс учётом равного (2.7)

dE/2 = dE'/2 = dE''модуля векторов dE'/2, dE''напряжённости электростатическогополя в вакууме от положительных dq', dq'' и отрицательных dq', dq'' зарядов в точке 0 начала координат имеет с учётом (2.8) следующий вид: dE_X' = dE/2cos(π + φ')cosθ = - (1/4πε₀)(σ₀cos²φ'cosθdφdθ); (2.9)

dE_X'' = dE/2cos φ''cosθ = dE/2cos(π - φ')cosθ = - (1/4πε₀)(σ₀cos²φ'cosθdφdθ), (2.10)

где (π + φ') - полярный угол цилиндрическойсистемы координат, т.е. угол долготы; этот φ' полярный угол (рис. 5.3 а) отсчитывается от OX оси до линиипересечения плоскости, в которой находитсявектор dE'/2 напряжённости электростатическогополя в вакууме от положительного dq' и отрицательного dq' зарядов в точке 0 начала координат

Проекции (рис.5.3 в) на OY, OZ оси dE', dE'' векторов напряженности электростатическогополя в вакууме от положительных dq', dq'' и отрицательных dq', dq'' зарядов в точке 0 начала координат равны по величине и имеют противоположныезнаки, поэтому результирующийdE_р вектор напряженности электростатическогополя в вакууме от положительных dq', dq'' и отрицательных dq', dq'' зарядов в точке 0 начала координат имеет dE_рX проекцию только на OX ось и направлен в сторону, противоположную этой OX оси, о чём свидетельствует "-"отрицательный знак в (2.9), (2.10) выражениях dE_X', dE_X'' проекций на OX осьвекторов dE'/2, dE''напряжённости электростатическогополя в вакууме от положительных dq', dq'' и отрицательных dq', dq'' зарядов в точке 0 начала координат.

Величина (рис.5.3 в) dE_рX проекции на OX осьрезультирующегоdE_р вектора напряженности электростатическогополя в вакууме от положительных dq', dq'' и отрицательных dq', dq'' зарядов в точке 0 начала координат имеет с учётом (2.9), (2.10) следующий вид:

dE_рX = dE_X' + dE_X'' = - (1/2πε₀)(σ₀cos²φ'cosθdφdθ). (2.11) Величина (рис.5.3 в) E_рX проекции на OX осьрезультирующегоdE_р вектора напряженности электростатическогополя в вакууме от всех положительных dq', dq'' и отрицательных dq', dq'' зарядов в точке 0 начала координат имеет с учётом (2.11) следующий вид: π/2 π

E_рX = ∫dE_рX = - (σ₀/2πε₀)∫cosθdθ ∫cos²φ'dφ = - σ₀ /2ε₀ ,(2.12)

S -π/2 0

где S - площадь круглой цилиндрическойповерхности, заряженной равномерно в вакууме по длине с поверхностной плотностью σ = σ₀ cosφ; "- π/2" - "π/2" - пределы (рис.5.3 в) интегрирования по

θ углу; "0" - "π"-пределы интегрирования по φ' полярному углу цилиндрическойсистемы координат, которые включают только I -ую и II -ую четверти OXY координатной плоскости, т.е. толькоправуючасть круглой цилиндрическойповерхности, поскольку в (2.12) подинтегральной функцией является

dE_рX проекции на OX осьрезультирующегоdE_р вектора напряженности электростатическогополя в вакууме от парположительных dq' и отрицательных dq' зарядов, а также от пар симметрично расположенных относительно OYZ координатной плоскости зарядам dq' и dq' отрицательного dq'' и положительного dq'' зарядов.

Результирующий E_р вектор напряженности электростатическогополя в вакууме от всех положительных dq', dq'' и отрицательных dq', dq'' зарядов, расположенныхв вакууме на круглой цилиндрическойповерхности равномерно по длине с поверхностной плотностью

σ = σ₀ cosφ, в произвольной точке осиэтойкруглой цилиндрическойповерхности согласно (2.12) имеет проекцию только по OX оси и направлен этот результирующий E_р вектор напряженности электростатическогополя в вакууме противоположно OX оси.

 

Задача 3

Найти Fвз модуль и направление вектора Fвзсилы взаимодействия между двумя одинаковымиэлектрическими диполями, находящимися на b расстоянии по OY оси, с известными и постоянными pe модулями векторов pe дипольного электрического

момента, которые направлены противоположно OY оси.

Проекции (рис.5.1.6) F q-q+ , F q- q-, F q+q- и F q+ q+ на OY ось векторовF q-q+ , F q- q-, F q+q- и F q+ q+ сил, действующих на отрицательныйq- иположительный q+ заряды левого диполя со стороны соответственно положительного q+ иотрицательногоq- зарядовправого диполя, имеет с учётом закона Кулона (5.1) из раздела 5.1

Модуль lвектораl, проведённого из "центра тяжести" суммарного отрицательногоq_- заряда в "центр тяжести" суммарного положительного q₊ заряда, намного меньше b расстояния между этимиэлектрическими диполями. Дано: b; p_e; p_e / F_вз = ? F_вз = ?

"Электростатика" следующий вид: F_q-q+ = q²/4πε₀(b-l)², (3.1) где F _q-q+ - проекция (рис. 5.1.6) на OY ось вектораF _q-q+ силы, действующего на отрицательный

q_- заряд левого диполя со стороны положительного q₊ заряда правого диполя; (b-l) - расстояние между этими зарядами; q₊ = | q_- | = q - модуль суммарногоположительного q₊ или отрицательного

q_- зарядов; ε₀ = 8,85·10^-12 Ф/м - электрическая постоянная; F_{q- q-}= - q²/4πε₀b², (3.2) где F _{q- q-} - проекция (рис.5.6) на OY ось вектораF _{q- q-} силы, действующего на отрицательный

q_- заряд левого диполя со стороны отрицательногоq_- заряда правого диполя; b - расстояние между этими зарядами; знак "-" в (3.2) потому, что векторF _{q- q-} силынаправлен по OY оси в отрицательную сторону; F_q+q-= q²/4πε₀(b+l)², (3.3) где F_q+q- - проекция (рис. 5.1.6) на OY ось вектораF_q+q- силы, действующего на положительный

q₊ заряд левого диполя со стороны отрицательногоq_- заряда правого диполя; (b+l) - расстояние между этими зарядами; F _{q+ q+} = - q²/4πε₀b², (3.4) где F _{q+ q+} - проекция (рис. 5.1.6) на OY ось вектораF_{q+ q+} силы, действующего на положительный

q₊ заряд левого диполя со стороны положительного q₊ заряда правого диполя; b - расстояние между этими зарядами; знак "-" в (3.4) потому, что векторF_{q+ q+}силынаправлен по OY оси в отрицательную сторону.

Проекция (рис. 5.5)F_л..п. на OY ось вектораF_л.п..силы, действующего на левый диполь со стороны правого диполя, равна сумме (3.1), (3.2), (3.3) и (3.4) и имеет следующий вид:

F_л..п. = F_q-q+ + F_{q- q-}+ F_q+q- + F _{q+ q+} = [q²/4πε₀(b-l)²] - [q²/4πε₀b²]+ [q²/4πε₀(b+l)²] - [q²/4πε₀b²] =

= q²l²(3b² - l²)/2πε₀b⁶ ≈ 3p_e ²/2πε₀b⁴, (3.5) гдеp_e = ql - модульвектора p_e дипольногоэлектрического момента (5.61) из раздела 5.1." "Электрическое поле системы неподвижных зарядов в вакууме. ТеоремаГауссадля электростатического поля. Работа и потенциал электростатического поля"; согласно

b >> l условию.

Знак "+" в (3.5) свидетельствует о том, что векторF_л.п..силы, действующего на левый диполь со стороны правого диполя, направлен по OY оси в положительную сторону, т.е. левый диполь притягивается к правому диполю.

Согласно третьему закону Ньютона (1.49) из раздела 1.0. "Физические основы механики"в механической системе двух одинаковыхэлектрических диполей геометрическаясумма всех внутренних сил, которыми являются векторы F_л.п., F_{п. л.}сил, равна нулю, вследствие чего имеет место следующее выражение: F_л.п + F_{п. л.} = 0 ↔F_л.п = -F_{п. л.} ↔ F_л.п =F_п.л. = F_вз ≈ 3p_e ²/2πε₀b⁴, (3.6) где F_л.п..F_{п. л.} - векторысил, действующих (рис. 05.1.5) соответственно на левый диполь со стороны правого диполя и направый диполь со стороны левого диполя, имеющих одинаковый модуль

F_вз силы взаимодействия между этими диполями, т.е. левый диполь с(3.6) силойпритягивается к правомусдиполю, а правый диполь с той же самой силойпритягивается к левому диполю.