Числовые характеристики СВ

О каждой СВ необходимо прежде всего знать ее некоторое среднее значение около которого группируются возможные значения СВ, а также какое-либо число, характеризующее степень разбросанности этих значений относительно среднего.

Рассмотрим дискретную СВ Х, имеющее возможные значения х1,х2,…,хn, с вероятностями р1,р2,…,рn.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех возможных значений СВ на вероятности этих значений:

.

Математическим ожиданием непрерывной СВ Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b] называют определенный интеграл.

,

если возможные значения непрерывной СВ Х принадлежат всей оси Ох, то математическое ожидание определяется интегралом:

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, т.е. M[C]=C.

доказательство: постоянную величину, можно рассматривать как случайную величину, которая с вероятностью 1 принимает значение С.

M[C]=C*1=C.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.

M[CX]=CM[X].

доказательство: для дискретной СВ , для непрерывной СВ .

Модой М₀ дискретной СВ называется ее наиболее вероятное значение, для непрерывной СВ мода есть такое значение СВ, при котором плотность распределения имеет максимум

f(M₀)=max.

Если многоугольник распределения (кривая распределения)имеет два или несколько максимумов, то распределение называется двухмодульным или многомодульным.

Модульной М₀ СВ Х называется, такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения СВ, т.е

P(X<M₀)= P(X>M₀)

Геометрическая медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривая распределения делится пополам.

F(M₀)=P (X<M₀)=0,5.

Если распределение одномодульное и симметрическое, то все три характеристики m_x, M₀,M_d – совпадают.

Основными характеристиками рассеивания СВ являются дисперсия и среднеквадратическое отклонение (СКО).

Дисперсией СВ называется МОЖ квадрата отклонения величины от ее МОЖ, т.е. D[x]=M[(x-m_x)²]

Для дискретной СВ дисперсия выражается суммой .

Для непрерывной СВ дисперсия выражается интегралом .

Для большего удобства желательно иметь характеристику по размерности совпадающую с размерностью СВ. Такой характеристикой является среднеквадратическое отклонение, которое представляет собой положительный квадратный корень из ее дисперсии СКО Х обозначают d_х .

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

доказательство: т.к. , то

Свойство 2. Дисперсия произведения постоянной величины на СВ рана произведению квадрата постоянной величины на дисперсию СВ

доказательство:

Свойство 3. Дисперсия СВ равна математическому ожиданию квадрата СВ минус квадрат ее МОЖ

Доказательство: для дискретной СВ