ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ СХЕМЫ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ

На практике многие финансовые операции выполняются в рамках одного года, при этом могут использоваться различные схемы и методы начисления процентов. В частности, большое распространение имеют краткосрочные ссуды, т.е. ссуды, предо­ставляемые на срок до одного года с однократным начислением процентов. Как отмечалось выше, в этом случае для кредитора, диктующего чаще всего условия финансового контракта, более выгодна схема простых процентов, при этом в расчетах ис­пользуют промежуточную процентную ставку, которая равна доле годовой ставки, пропорциональной доле временного ин­тервала в году.

F = P·(1+ f · r), или F = P • (1 + t / Т • r), (4.5)

где r — годовая процентная ставка в долях единицы;

t— продолжительность финансовой операции в днях;

Т —количество дней в году;

f—относительная длина периода допогашения ссуды.

При определении продолжительности финансовой операции принято день выдачи и день погашения ссуды считать за один день. В зависимости от того, чему берется равной продолжитель­ность года (квартала, месяца), размер промежуточной процент­ной ставки может быть различным. Возможны два варианта:

точный процент, определяемый исходя из точного числа дней в году (365 или 366), в квартале (от 89 до 92), в месяце (от 28 до 31);

обыкновенный процент, определяемый исходя из приближен­ного числа дней в году, квартале и месяце (соответственно 360, 90, 30).

При определении продолжительности периода, на который выдана ссуда, также возможны два варианта:

принимается в расчет точное число дней ссуды (расчет ведется по дням);

принимается в расчет приблизительное число дней ссуды (ис­ходя из продолжительности месяца в 30 дней).

Для упрощения процедуры расчета точного числа дней пользуются специальными таблицами (одна для обычного года, вторая для високосного), в которых все дни в году последо­вательно пронумерованы. Продолжительность финансовой опе­рации определяется вычитанием номера первого дня из номера последнего дня.

В случае, когда в расчетах используется точный процент, берется и точная величина продолжительности финансовой опе­рации; при использовании обыкновенного процента может при­меняться как точное, так и приближенное число дней ссуды. Таким образом, расчет может выполняться одним из трех спо­собов:

обыкновенный процент с точным числом дней (применяется в Бельгии, Франции);

обыкновенный процент с приближенным числом дней (ФРГ, Дания, Швеция);

точный процент с точным числом дней (Великобритания, США).

В практическом смысле эффект от выбора того или иного способа зависит от значительности суммы, фигурирующей в процессе финансовой операции.

Пример

Предоставлена ссуда в размере 5 млн.руб. 25 января с погаше­нием через шесть месяцев (25 июля) под 60% годовых (год невисокосный). Рассчитать различными способами сумму к пога­шению (S).

Величина уплачиваемых за пользование ссудой процен­тов зависит от числа дней, которое берется в расчет. Точное число дней определяется по таблице с номерами дней года:

206—25 = 181 дн. Приближенное число дней ссуды равно: 5 дней января (30—25) + 150 (по 30 дней пяти месяцев: февраль, март, апрель, май, июнь) + 25 (июль) = 180 дн.

Возможные варианты возврата долга:

1. В расчет принимаются точные проценты и точное число дней ссуды:

S = 5 • (1 + 181:365 • 0,6) = 6,487млн.руб.

2. В расчет принимаются обыкновенные проценты и точное число дней:

S = 5 • (1 + 181:360 • 0,6) = 6,508 млн.руб.

3. В расчет принимаются обыкновенные проценты и прибли­женное число дней:

S = 5·(1 + 180:360·0,6) =6,5 млн.руб.

Другой весьма распространенной операцией краткосрочного характера, для оценки которой используются рассмотренные формулы, является операция по учету векселей банком. В этом случае пользуются дисконтной ставкой. Одна из причин состоит в том, что векселя могут оформляться по-разному, однако чаще всего банку приходится иметь дело с суммой к погашению, т.е. с величиной FV. Схема действий в этом случае может быть следу­ющей. Владелец векселя на сумму FV предъявляет вексель банку, который соглашается его учесть, т.е. купить, удерживая в свою пользу часть вексельной суммы, которая нередко также называ­ется дисконтом. В этом случае банк предлагает владельцу сумму (PV), исчисляемую исходя из объявленной банком ставки дискон­тирования (d). Очевидно, что чем выше значение дисконтной ставки, тем большую сумму удерживает банк в свою пользу. Расчет предоставляемой банком суммы ведется по формуле, являющейся следствием формулы (4.2):

PV= FV (1 — f · d), или PV = FV • (1 —t/Т • d), (4.6)

где f относительная длина периода до погашения ссуды (отметим, что опера­ция имеет смысл, когда число в скобках не отрицательно).

Пример

Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 5 млн. руб. со сроком погашения 28.09.1997 г. Вексель предъявлен 13.09.1997 г. Банк согласился учесть вексель с дисконтом в 75% годовых. Тогда сумма, которую векселедержатель может полу­чить от банка, рассчитывается по формуле (4.6) и составит:

PV = 5 • (1 —15:360 • 0,75) = 4,844 млн.руб.

Разность между величинами FV и PV представляет собой комиссионные, удерживаемые банком в свою пользу, за предо­ставленную услугу; в данном примере она составила 156 тыс. руб.

Можно выполнить и более глубокий факторный анализ. До­ход банка при учете векселей складывается из двух частей — проценты по векселю, причитающиеся за время, оставшееся до момента погашения векселя, и собственно комиссионные за пре­доставленную услугу. Как уже упоминалось выше, теоретическая дисконтная ставка меньше процентной. Однако на практике, устанавливая дисконтную ставку, банк, как правило, повышает ее в зависимости от условий, на которых выдан вексель, риска, связанного с его погашением, комиссионных, которые банк счи­тает целесообразным получить за оказанную услугу, и т.п. По­скольку величина процентов по векселю за период с момента учета до момента погашения предопределена, банк может варьировать лишь размером комиссионных путем изменения учетной ставки. Прежде чем рассмотреть простейший пример, изложим логику факторного анализа дохода банка в этом случае. Введем следующие обозначения:

PV - стоимость векселя в момент его оформления;

P₁ - теоретическая стоимость векселя в момент учета:

P₂ - предлагаемая банком сумма в обмен на вексель;

FV - стоимость векселя к погашению;

Δ₀ - общий доход банка от операции.

Из формул (4.5) и (4.6) видно, что функции PV = f(t) и FV = f(t) являются линейными относительно t, т. е. процессы пе­рехода PV —> FV и FV —> PV, а также структура факторного раз­ложения при учете векселей могут быть

Скорость наращения стоимости векселя, т.е. крутизна наклона прямой PF, зависит от уровня процентной ставки r, согласован­ной между векселедателем и векселедержателем. По мере при­ближения срока погашения векселя его теоретическая стоимость постоянно возрастает на сумму причитающихся за истекший период процентов, таким образом, в момент учета векселя она составит величину P₁, которую можно рассчитать по формуле (4.5). Итак, учитывая вексель в банке, его владелец теоретически мог бы рассчитывать на сумму P₁, а факт ее получения означал бы, что с момента учета векселя кредитором векселедателя фак­тически становится банк. Вряд ли такое положение устраивает менеджеров банка, поскольку не очевидно, что заложенная в векселе доходность в размере ставки r будет привлекательной для банка. Именно поэтому предлагаемая банком сумма P₂, которая рассчитывается по формуле (4.6) исходя из стоимости векселя к погашению и предлагаемой банком дисконтной ставки, в принципе не связанной со ставкой r, в подавляющем большинстве случаев меньше теоретической стоимости векселя. Разность Δ_c = P₁—P₂ представляет собой сумму комиссионных, получа­емых банком за услугу, оказываемую векселедержателю. С пози­ции последнего эта сумма составляет затраты, т.е. плату за возможность более быстрого получения наличных. Помимо ко­миссионных банк получает также проценты за период с момента учета до момента погашения векселя, сумма которых рассчитывается по формуле Δ_p = FV—P₁ .Таким образом, общий до­ход банка от операции составит Δ₀ = Δ_p +Δ_c = FV —P₂. От­метим, что реальные потери векселедержателя составляют вели­чину Δ_c = P₁ - P₂,а не сумму (FV —P₂), как это кажется на первый взгляд. Дело в том, что с момента учета векселя кредито­ром становится банк, поэтому ему и «передаются» проценты за оставшийся период.

Пример

Предприятие продало товар на условиях потребительского кредита с оформлением простого векселя: номинальная стои­мость 1,5 млн.руб., срок векселя — 60 дней, ставка процента за предоставленный кредит — 90% годовых. Через 45 дней с момен­та оформления векселя предприятие решило учесть вексель в банке; предложенная банком дисконтная ставка составляет:

а) 85%; б) 100%. Рассчитать суммы, получаемые предприятием и банком.

Будущая стоимость векселя к моменту его погашения со­ставит:

FV = 1,5 • (1 + 60:360 • 0,9) = 1,725 млн.руб.

Срочная стоимость векселя в момент учета его банком со­ставит:

P₁ = 1,5 • (1 + 45:360 • 0,9) = 1,669 млн.руб.

Предлагаемая банком сумма рассчитывается по формуле (4.6):

a)P₂ = 1,725 • (1 – 15:360 • 0,85) = 1,664 млн.руб.

б) P₂ = 1,725 • (1 – 15:360 • 1,00) = 1,653 млн.руб.

Таким образом, банк получает от операции проценты по векселю за оставшиеся 15 дней в размере 56 тыс.руб. (1,725 — 1,669), величина которых не зависит от уровня дисконтной став­ки, и комиссионные за оказанную услугу в размере:

в случае (а) — 5 тыс.руб. (1,669 — 1,664);

в случае (б) — 16 тыс. руб. (1,669 — 1,653).

4.2.3. ВНУТРИГОДОВЫЕ ПРОЦЕНТНЫЕ НАЧИСЛЕНИЯ

В практике выплаты дивидендов нередко оговаривается величина годового процента и частота выплаты. В этом случае расчет ведется по формуле сложных процентов по подынтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки по формуле:

F_n = P · (1 + r /m) ^{k · m}, (4.7)

где r—объявленная годовая ставка;

m — количество начислений в году;

k—количество лет.

Пример

Вложены деньги в банк в сумме 5 млн.руб на два года с полугодовым начислением процентов под 20% годовых. В этом случае начисление процентов производится четыре раза по ставке 10% (20% :2), и схема возрастания капитала будет иметь вид:

Если пользоваться формулой (4.7), то m = 2, k = 2, следовательно:

F_n = 5 • (1 + 20% : 100% : 2)⁴ = 7,3205 млн. руб.

Пример

В условиях предыдущего примера проанализировать, изме­нится ли величина капитала к концу двухлетнего периода, если бы проценты начислялись ежеквартально.

В этом случае начисление будет производиться восемь раз по ставке 5% (20% :4), а сумма к концу двухлетнего периода сос­тавит:

F_n = 5 • (1 + 0,05)⁸ = 7,387 млн.руб.

Таким образом, можно сделать несколько простых практичес­ких выводов:

при начислении процентов: 12% годовых не эквивалентно 1% в месяц (эта ошибка очень распространена среди начинающих бизнесменов);

чем чаще идет начисление по схеме сложных процентов, тем больше итоговая накопленная сумма.

4.2.4. НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ ЗА ДРОБНОЕ ЧИСЛО ЛЕТ

Достаточно обыденными являются финансовые контракты, за­ключаемые на период, отличающийся от целого числа лет. В этом случае проценты могут начисляться одним из двух методов:

по схеме сложных процентов:

F_n =P ·(1 +r)^w+f (4.8)

по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов — для дробной части года):

F_n = P · (1 + r ) ^w · (1 + f·r ), (4.9)

где: w – целое число лет;

f – дробная часть года.

Поскольку f < 1, то (1 +f · r ) > (1 + r) ^f, следовательно наращен­ная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

Пример

Банк предоставил ссуду в размере 10 млн. руб. на 30 месяцев под 30% годовых на условиях ежегодного начисления процентов. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока?

По формуле (4.8): F_n = 10 • (1 + 0,3)^{2 + 0.5} = 19,27 млн. руб.

По формуле (4.9): F_n = 10 • (1 + 0,3)² • (1 + 0,3 • 0,5) = 19,44 млн. руб.

Таким образом, в условиях задачи смешанная схема начисле­ния процентов более выгодна для банка.

Возможны финансовые контракты, в которых начисление про­центов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продо­лжительность общего периода действия контракта не равна це­лому числу подпериодов. В этом случае также возможно исполь­зование двух схем:

а) схема сложных процентов:

F_n =P • (1+r /m ) ^{m ·k} • (1+r /m ) ^f (4.10)

б) смешанная схема:

F_n = P • (1 + r /m ) ^{m · k} • (1 + f •r /m ), (4.11)

где k — количество лет;

m — количество начислении в году;

r — годовая ставка;

f — дробная часть подпериода.

Пример

Банк предоставил ссуду в размере 120 млн. руб. на 27 месяцев (т. е. 9 кварталов, или 2,25 года) под 16 % годовых на условиях единовременного возврата основной суммы долга и начисленных процентов. Проанализировать, какую сумму предстоит вернуть банку при различных вариантах и схемах начисления процентов:

а) годовое; б) полугодовое; в) квартальное.

а) Годовое начисление процентов

В этом случае продолжительность ссуды не является кратной продолжительности базисного периода, т.е. года. Поэтому воз­можно применение любой из схем, характеризуемых формулами (4.8) и (4.9) и значениями соответствующих параметров: w = 2; f= 0,25; r= 16 %.

При реализации схемы сложных процентов:

F_n =P ·(1 +r)^w+f = 120 · (1 + 0,16)^2.25 = 167,58 млн. руб.

При реализации смешанной схемы:

F_n = P · (1 + r ) ^w · (1 + f·r )= 120 · (1 +0,16)² · 1,04= 167,93 млн. руб.

б) Полугодовое начисление процентов

В этом случае мы имеем дело с ситуацией, когда начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действия контракта не равна целому числу подпериодов. Следовательно, нужно воспользо­ваться формулами (4.10) и (4.11), когда базисный период равен полугодию, а параметры формул имеют следующие значения:

k=2; w = 2; f= 0,25; r= 16 %.

При реализации схемы сложных процентов:

F_n =P • (1+r /m ) ^{m ·k} • (1+r /m ) ^f = 120 • (1 +0,08)^4,5= 169,66 млн. руб.

При реализации смешанной схемы:

F_n = P • (1 + r /m ) ^{m · k} • (1 + f •r /m ) = 120 • (1 + 0,08)⁴ •

• (1 + 1/2 • 0,16/2) = 169, 79 млн.руб;

в) Квартальное начисление процентов

В этом случае продолжительность ссуды кратна продолжите­льности базисного периода и можно воспользоваться обычной формулой сложных процентов (4.4), в которой n = 9, а r =0,16 / 4 = 0,04.

F_n = 120 · (1 + 0,04)⁹ = 170,8 млн.руб.