ПОНЯТИЕ ПРОСТОГО И СЛОЖНОГО ПРОЦЕНТА

Предоставляя свои денежные средства в долг, их владелец получает определенный доход в виде процентов, начисляемых по некоторому алгоритму в течение определенного промежутка вре­мени. Поскольку стандартным временным интервалом в финан­совых операциях является 1 год, наиболее распространен вари­ант, когда процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление процентов по истечении года после получения ссуды. Известны две основные схемы дискретного начисления:

схема простых процентов (simple interest);

схема сложных процентов (compound interest).

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Пусть исходный инвестируемый. капитал равен Р; требуемая доходность — r (в долях единицы). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину P·r . Таким образом, размер инвестированного капитала через nлет (R_n) будет равен:

R_n=Р +P · r + ... +P · r =Р • (1 +n · r) (4.3)

Считается, что инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные, и невостребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация процентов по мере их начисления, т.е. база, с которой начисляют­ся проценты, все время возрастает. Следовательно, размер ин­вестированного капитала будет равен:

к концу первого года:F₁ = Р + P · r = Р (1+ r );

к концу второго года: F₂ = F₁ + F₁ · r = F₁ · (1+ r ) = Р • (1 + r)²;

к концу n - го года: F_n = Р • (1 + r)ⁿ.

Какже соотносятся величиныR_nи F_n ? Это чрезвычайно важно знать при проведении финансовых операций. Все зависит от величины n. С помощью метода математической индукции легко показать, что при n > 1,

(1 + r)ⁿ > 1 +n · r.

Итак, R_n > F_n, при 0< n <1;

R_n < F_n, при n >1.

Взаимосвязь F_n и R_nможно представитьв виде графика (рис. 4.2).

Таким образом, в случае ежегодного начисления процентов для лица, пре­доставляющего кредит:

более выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года, (проценты начисляются однократно в конце периода);

более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды пре­вышает один год (проценты начисляются ежегодно);

обе схемы дают одинаковые результаты при продолжитель­ности периода 1 год и однократном начислении процентов.

Рис. 4.2. Простая и сложная схемы наращения капитала

Пример.

Рассчитать наращенную сумму с исходной суммы в 1 млн. руб. при разме­щении ее в банке на условиях начисления простых и сложных процентов, если а) годовая ставка 20%; б) периоды наращения: 90 дн., 180 дн., 1 год, 5 лет, 10 лет.

Результаты расчетов имеют следующийвид:

(млн.руб.)

Таким образом, если денежные средства размещены в банке на срок в 90 дней (менее одного года), то наращенная сумма составит: при использовании схемы простых процентов — 1,05 млн.руб.; при использовании схемы слож­ных процентов — 1,0466 млн.руб. Следовательно, более выгодна первая схема (разница — 3,4 тыс.руб.). Если срок размещения денежных средств превыша­ет один год, ситуация меняется диаметрально — более выгодна схема сложных процентов, причем наращение в этом случае идет очень быст­рыми темпами. Так, при ставке в 20% годовых удвоение исходной суммы происходит следующим темпом: при использовании схемы простых процентов за пять лет, а при использова­нии схемы сложных процентов — менее чем за четыре года.

Использование в расчетах сложного процента в случае много­кратного его начисления более логично, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает. При применении простого процента доходы по мере их начисления целе­сообразно снимать для потребления или использования в других инвестиционных проектах или текущей деятельности.

Формула сложных процентов является одной из базовых формул в финансовых вычислениях, поэтому для удобства пользования значения множителя FМ1(r,n), называемого муль­типлицирующим множителем и обеспечивающего наращение стоимости, табулированы для различных значений r и n (см. приложение 3). Тогда формула алгоритма наращения по схеме сложных процентов переписывается следующим образом:

F_n= Р· FМ1(r,n), (4.4)

где FМ1(r,n) = (1 + r)ⁿ — мультиплицирующий множитель.

Экономический смысл множителя FМ1(r,n) состоит в следу­ющем: он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар, одна иена и т.п.) через n периодов при заданной процентной ставке r. Подчеркнем, что при пользовании этой и последующими финансовыми таблицами необходимо сле­дить за соответствием длины периода и процентной ставки. Так, если базисным периодом начисления процентов является квар­тал, то в расчетах должна использоваться квартальная ставка.

В практических расчетах для наглядной и быстрой оценки эффективности предлагаемой ставки наращения при реализации схемы сложных процентов пользуются приблизительным расче­том времени, необходимого для удвоения инвестированной сум­мы, известным как «правило 72-х». Это правило заключается в следующем: еслиr — процентная ставка, выраженная в процен­тах, то k == 72/r представляет собой число периодов, за которое исходная сумма приблизительно удвоится. Это правило хорошо срабатывает для небольших значений r (до 20%). Так, если годовая ставка r = 12%, то k = 6 годам. Подчеркнем, что здесь речь идет о периодах начисления процентов и соответствующей данному периоду ставке, а именно, если базовым периодом, т.е. периодом наращения, является квартал, то в расчете должна использоваться квартальная ставка. Следует также обратить вни­мание на то обстоятельство, что хотя в большинстве финансовых расчетов процентная ставка берется в долях единицы, в формуле алгоритма правила 72-х ставка взята в процентах.

Схема простых процентов используется в практике банковс­ких расчетов при начислении процентов по краткосрочным ссу­дам со сроком погашения до одного года. В этом случае в качестве показателя n берется величина, характеризующая удель­ный вес длины подпериода (дни, месяц, квартал, полугодие) в общем периоде (год). Длина различных временных интервалов в

расчетах может округляться: месяц — 30 дней; квартал — 90 дней; полугодие — 180 дней; год — 360 (или 365) дней.

Пример.

Выдана ссуда в размере 5 млн.руб. на один месяц (30 дней) под 130% годовых. Тогда размер платежа к погашению будет равен:

R_n = 5 • (1 + 30:360 • 130% :100%) = 5,542 млн.руб