Фильтры и ультрафильтры

Другим обобщением понятия сходимости последовательности является понятие фильтра французского математика А. Картана. Теория А. Картана с точки зрения сходимости эквивалентна теории Мура и Смита. Но для математической информатики понятие фильтра — более важное.

Определение 7.10.Пусть X — произвольное множество. Тогда непустое семейство F подмножеств X называется фильтромв X , если:

1) пустое множество ∅ не принадлежит F ;

2) для всякого А ∈ F любое надмножество В ⊇ А принадлежит F ;

3) пересечение конечного числа множеств из F принадлежит F .

При этом говорят, что фильтрF фильтрует множествоX .

Пример 7.10. Тривиальный фильтр.Семейство подмножеств F , состоящее лишь из самого множества X , представляет собой фильтр, называемый тривиальным .

Пример 7.11. Ультрафильтр.Рассмотрим точку x 0∈ X . Семейство всех подмножеств X , содержащих эту точку, является фильтром, который называют ультрафильтром . Ультрафильтр фильтрует множество X вплоть до одноточечного множества, состоящего из одной данной точки { x 0}.

Пример 7.12. Элементарный фильтр.Если хп, п ∈ N , — бесконечная последовательность точек множества X , то семейство F всех подмножеств А ⊆ X , каждое их которых содержит все хп, кроме конечного их числа, является фильтром. Этот фильтр называется элементарным , ассоциированным с последовательностью хп, п ∈ N . Фильтрация множества X происходит путем отбрасывания все нового и нового конечного числа точек последовательности хп, п ∈ N . Например, если рассмотреть множество натуральных чисел X = N и последовательность натуральных чисел хп= п , п ∈ N , то получим так называемый элементарный фильтр Фреше .

Пример 7.13. Фильтр окрестностей точки.Пусть X — топологическое пространство, и x 0∈ X — точка пространства. Тогда семейство всех окрестностей точки x 0образует фильтр F , называемый фильтром окрестностей этой точки . В случае решетчатой топологии фильтрация множества X этим фильтром происходит вплоть до того элемента разбиения множества X , который содержит точку x 0.

Определение 7.11.Пусть во множестве X имеются два фильтра F 1, F 2. Говорят, что фильтр F 1мажорируетфильтр F 2и пишут F 2⊇ F 1, если семейство F 1является подсемейством семейства F 2.

Пример 7.14. Если X — топологическое пространство, то любой фильтр окрестностей точки x 0∈ X будет мажорировать тривиальный фильтр, а ультрафильтр для этой точки будет мажорировать любой фильтр окрестностей той же точки.

Определение 7.12.Пусть x 0— произвольная точка топологического пространства X и F — фильтр множества X . Говорят, что фильтр F сходится (фильтрует X ) к точкеx 0∈ X , если он мажорирует фильтр окрестностей этой точки. При этом точку x 0называют предельной точкой фильтраF . Другими словами, всякая окрестность предельной точки должна входить в состав семейства F .

На практике часто вместо фильтра используют часть фильтра, по которому весь фильтр однозначно восстанавливается.

Определение 7.13.Пусть F — фильтр множествах. Система В подмножеств из F называется базисом (базой ) этого фильтра , если для каждого подмножества А ∈ F найдется подмножество β ∈ В , такое, что А ⊇ β.

Пример 7.15. Если F — фильтр всех окрестностей точки x 0топологического пространства X , то всякая фундаментальная система окрестностей этой точки будет базисом этого фильтра. В случае решетчатой топологии одним из базисов фильтра всех окрестностей будет одноэлементное семейство, состоящее из того элемента разбиения множества X , которое содержит точку x 0.