Наложение частот в ДПФ.

Этот эффект проявляется в тех случаях, когда количество отсчетов сигнала на периоде выбрано недостаточно большим.
Рассмотрим произвольный аналоговый сигнал . Пусть - его амплитудный спектр, который в общем случае содержит бесконечное количество гармоник. Пусть рассматриваемый сигнал дискретизирован и по его точкам с помощью ДПФ вычислен спектр , содержащий гармоник.
Если значение N выбрано правильно, то спектры и совпадают. Если же недостаточно велико, то спектры и существенно различаются, что показано на рис.2.4.

Рис. 2.4. Спектры аналогового и дискретного сигнала при правильном (б) и неправильном (в) выборе значения .

На рис.2.4в даны только гармоники для рабочего диапазона ДПФ , а далее эти гармоники повторяются в соответствии с рис.2.3. Большие погрешности в спектре рис.2.1в обусловлены тем, что в исходном аналоговом сигнале есть гармоники с номерами , а в ДПФ они не рассматриваются из-за периодичности спектра.
Пусть - отсчет исходного аналогового сигнала , т.е. , .
Далее знак суммы по будет означать суммирование по этим значением , т.е. по всем отсчетам. Используем целый индекс для гармоник аналогового сигнала, в общем случае. Тогда аналоговое преобразование Фурье (АПФ) можно записать в соответствии с (2.2) в виде

(2.24)

По отсчетам (2.24) вычисляем прямое ДПФ, т.е. подставляем (2.24) в (2.17) или (2.19). Получим двойную сумму вида

(2.25)

Раскроем скобки и используем известные формулы для произведений, например,

Можно показать, что

При этом учитывается, что . Поэтому для коэффициента (или ) большинство слагаемых в двойной сумме (2.25) по k и p будет равно нулю и останутся только слагаемые с и слагаемые, для которых кратно .
Если аккуратно провести все указанные преобразования, то из (2.25) получим

(2.26)

и аналогичную формулу для . Из (2.26) делаем следующие выводы:
1. В вещественном ДПФ вычисляются гармоники с номерами , хотя в исходном аналоговом сигнале могут присутствовать гармоники с номерами .
2. Если в спектре исходного аналогового сигнала есть гармоники с номерами то при вычислении ДПФ они накладываются на гармоники с номерами и искажают их. Наложение происходит для гармоник с номерами и , если кратно . Это и есть эффект наложения частот (см. рис.2.5). При этом исходный спектр складывается как бы "гармошкой".

Рис.2.5. Эффект наложения частот при ДПФ. - амплитудный спектр аналогового сигнала; здесь для ДПФ , т.к. .

3. Для устранения эффекта наложения частот нужны фильтры верхних частот для аналогового сигнала или большие значения N, т.к. спектр аналогового сигнала не должен иметь гармоник с номерами . Если такие гармоники есть, то они не должны превышать заданной погрешности вычисления спектра.
Пример. Пусть в аналоговом сигнале имеем , , , , выбрано . Это ошибка, т.к. при ДПФ гармоники 50 и 49 накладываются на нулевую и первую соответственно, что даст погрешность 20%. Нужно выбрать .

2.10. Теорема отсчетов.

Другое название теоремы – теорема Котельникова, которое используется в отечественной литературе. Пусть исходный сигнал имеет спектр, ограниченный частотой , которая соответствует номеру гармоники , где – период сигнала.
При дискретизации должно выполняться условие

,

(2.27)

т.е. отсчетов должно быть не меньше удвоенного количества гармоник.
Условие (2.27) можно записать в обычной для ДПФ форме

,

(2.28)

которая использовалась выше.
Формулы (2.27) и (2.28) – это теорема отсчетов в безразмерных переменных. Используя размерные переменные , , (см. раздел 13.3) и частоту дискретизации эти формулы можно записать в более известном виде

,

(2.29)

или .