АНАЛОГОВОЕ И ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ.

2.1. Задача спектрального анализа и цифровая обработка сигналов.

Непрерывную или дискретную функцию одного переменного можно представить рядов Фурье по тригонометрическим функциям , или интегралом Фурье от этих функций. Задача спектрального анализа состоит в определении спектра функции – кооффициентов ряда Фурье и спектральной плотности в интеграле Фурье в зависимости от частоты или круговой частоты . Спектральный анализ сигналов имеет очень важное значение в радиоэлектронике, поэтому функцию обычно рассматривают как сигнал, зависящей от времени .
Цифровая обработка состоит из двух больших областей: спектрального анализа и цифровых фильтров. Обе области рассматривают цифровые сигналы, называемые также дискретными, которые представляются в виде дискретных функций времени с постоянным шагом дискретизации , т.е. время , где – номер отсчета . Цифровой сигнал получается при дискретизации аналогового сигнала , представляемого непрерывной функцией времени.
Алгоритмы цифровой обработки позволяют выполнять различные преобразования дискретных функций, причем можно преобразовывать как сами функции, так и их спектры.
Рассмотрим периодические и непериодические сигналы. В таблице 2.1 приводятся основные характеристики сигналов и их спектров, причем используются следующие обозначения:
Д=1 означает дискретный, Д=0 – аналоговый, П=1 означает периодический, П=0 – непериодический.

Таблица2.1.

Аналоговые и дискретные сигналы и их спектры

Дискретный непериодический сигнал (Д=1, П=0) при цифровой обработке обычно рассматривают как периодический (Д=1, П=1) с большими и физически разумными значениями периода .
Период определяет разрешение в спектре, т.е. разность частот соседних составляющих равна . Очевидно, что при получаем , т.е. сплошной спектр (Д=0).
Количество составляющих в спектре дискретного сигнала определяется количеством отсчетов на периоде .

2.2. Аналоговое преобразование Фурье (АПФ).

АПФ – это преобразование Фурье для аналогового сигнала, представляемого непрырывной функцией .
Переодическую функцию , имеющую период , можно представить рядом Фурье.

,

(2.1)

где - основная круговая частота сигнала,

- круговая частота -й гармоники сигнала,

(2.2)

- среднее значение (постоянная состовляющая сигнала) сигнала,

(2.3)

- косинусные коэффициенты сигнала,

(2.4)

- синусные коэффициенты сигнала.

Ряд (11.1) можно переписать в виде

(2.5)

Здесь – амплитуда гармоники с номером , – фаза той же гармоники. Значения и определяются по коэффициентам , с помощью формул

,

(2.6)

Комплексное число , его модуль и аргумент показаны на рис.2.1.

Рис. 2.1. Определение амплитуды и фазы гармоники по коэффициентам , .

Отметим, что величину называют комплексной амплитудой гармоники.
Для непериодических функций , когда , ряд Фурье (11.1) или (11.2) и выражения для его коэффициентов переходят в интегралы Фурье.

(2.7)

- обратное преобразование Фурье,

(2.8)

- прямое преобразование Фурье.