Основные требования к построению математических структурных моделей

Часто объектом изучения в математике служит множество вместе с определенной на нем структурой, например: множество треугольников с отношением подобия, множество вещественных функций со свойством линейности и операцией дифференцирования, множество узлов и сетевых элементов ТК-систем со своими взаимосвязями и другие. В математической логике уточняется понятие структуры, заданной на множестве, с помощью таких понятий как алгебраическая система и сигнатура.

Определение. Упорядоченная тройка называется сигнатурой, если выполняются следующие условия:

а) множества и не имеют общих элементов;

б) - местная операция, которая задается на множестве .

Для того чтобы построить модель непротиворечивой теории алгебраической системы сигнатуры , необходимо:

1) на множестве задать алгебраическую систему сигнатуры ;

2) установить изоморфизм : , т.е. доказать, что алгебраические системы и изоморфны.

Рассмотрим строгое обоснование построения математической модели ТК-системы – матрицы инциденций с позиций теории моделей. Обозначим элементы ТК-системы через , где принимает значения 1,2,…, , коммутации через , . Сигнатуру ТК-системы определим следующим образом: , - множество элементов ТК-системы, - множество коммутаций. В качестве местной операции возьмем свойство инцидентности:

Рассмотрим ТК-систему как алгебраическую систему сигнатуры . Построим модель ТК-системы следующим образом. Пусть , тогда можно рассмотреть как элементы матрицы, которая называется матрицей инциденций. Таким образом, любому элементу ТК-системы из множества и любой коммутации из мы ставим в соответствие элемент матрицы инциденций, т.е. нами установлен гомоморфизм алгебраической ТК-системы сигнатуры на матрицу той же сигнатуры . Каждому элементу матрицы инциденций можно поставить в соответствие элемент ТК-системы и коммутацию , т.е. установлен и обратный гомоморфизм. Следовательно, ТК-система изоморфна матрице инциденций , т.е. матрица инциденций является строго обоснованной адекватной математической моделью ТК-системы, однако описанная модель, как и любая другая, далеко не совершенна, ибо в общем случае не обладает свойствами инвариантности. Кроме того, результаты спектрального анализа этих матриц имеют ограниченную применимость в силу того, что компоненты их спектра зависят не только от состояния отдельных направлений, но и от порядка нумерации элементов графа сети.

Рассмотрим конкретные типы моделей.

4.5. Математические модели типа „черного ящика”

Во многих случаях структура системы априори не известна или сама система является слабо структурированной. В этом случае систему представляют в виде двух-, четырех- или -полюсника с соответствующими входами и выходами . Такое представление носит название „черного ящика” (рис.4.2). В данной системе изучаются влияния входных сигналов на выходные , то есть анализируются причинно-следственные связи без конкретизации ее внутренней структуры. В простейшем линейном представлении (1 вход, 1 выход) эта связь имеет вид

. (4.4)

В случае -входов и -выходов функции и являются векторами, а - матрицей.

В более сложных нелинейных системах - это представление (4.4) нелинейно

.

Матрица и функция носят название передаточных функций системы .

Рис. 4.2. Пример системы в виде «черного ящика»

с -входами и -выходами

С помощью передаточной матрицы можно моделировать электрические схемы, устройства, узлы и каналы связи и др. Наиболее распространенным является представление векторного канала связи. Так, в задачах пространственно-временного кодирования (MIMO – много входов, много выходов), используемого в системах Wi-Fi, Wi-MAX, на передающей стороне может излучаться несколько пространственно-разнесенных информационных сигналов, а на приемной – осуществляться их прием на -антенн. Передавая периодически известные тестовые сигналы, находят значения передаточных функций (BLAST-алгоритм). Это позволяет на интервале между тестами считать канал связи с известными параметрами, что, в конечном счете, обеспечивает бóльшую пропускную способность и надежность связи. Очевидно, вместо или одновременно с пространственным разнесением можно использовать и поляризационное. В этом случае входные и выходные , компоненты рассматривают как ортогонально-поляризованные составляющие электромагнитного поля.

Однако модель «черного ящика» является упрощенной. Так для динамических систем, где внутренняя структура и ее состояния изменяются во времени требуется детальная конкретизация. Часто используют одновременно две модели: композицию модели наблюдения в виде черного ящика и динамической модели состояния, описываемой системой дифференциальных уравнений (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Составная модель наблюдения и состояния

При этом модель «черного ящика» по отношению модели состояний играет роль модели наблюдения, где матрица усиления, - помехи.