Модели кибернетических систем

С появлением кибернетики – науки об управлении, связях и преобразовании информации, сами системы стали предметом системного исследования. Кибернетические системы – это абстрактные математические модели, которые рассматриваются с информационной точки зрения и изучаются с позиций машинного эксперимента. Как метод изучения, кибернетический подход является промежуточным между классическим дедуктивным (построенным на аксиомах, доказательствах и выводах) и классическими экспериментальными методами. Благодаря этому кибернетические методы исследования широко применяются для изучения систем разной природы, в том числе и телекоммуникационных систем.

В простейшем случае кибернетическая система может состоять из одного элемента V:

(4.5)

где – входной сигнал или воздействие, подаваемое в виде конечного множества функций времени ; – выходной сигнал, реакция системы V на входное воздействие. Этот сигнал можно представить также в векторном виде ; – внутреннее состояние системы V,которое характеризуется конечным множеством функций той же природы. Через f и g определены функционалы, которые отображают текущие значения внутреннего состояния и выходного сигнала :

(4.6)

где – оператор сужения векторной функции , которая переводит все множество состояний во множество допустимых состояний. В частности, оператор может отображать управление внутренним состоянием данной системы.

Таким образом, в отличие от моделей «черного ящика» кибернетическая модель является более общей, поскольку в ней кроме входа/выхода учитывается также внутреннее состояние. Более того, кибернетическая модель допускает конкретизацию структуры.

Иногда оператор характеризует ограничение причинности, которое состоит в том, что реакция неможет появиться ранее входного воздействия . Кроме того, этим оператором учитывается, что время t является положительным, действительным аргументом. Структурная схема простейшей кибернетической системы показана на рис. 4.4.

Рис.4.4. Структурная схема простейшей кибернетической системы

Для определения системы зависимость (4.6) следует дополнить данными о начальном состоянии , а также, возможно, о начальной, на время , реакции . Кроме того, могут задаваться не только начальные, но и предельные условия в зависимости от постановки задачи.

Самые простые кибернетические системы типа (4.6) могут образовывать более сложные системы. их называют многоэлементными. Многоэлементные системы состоят из конечного набора элементов , в которых некоторые входные воздействия отождествляются с выходными (на вход одного элемента подается выходная реакция другого). Формально такие отождествления задаются системой уравнений

(4.7)

где – -й компонент входного воздействия n-гоэлемента; – j-й компонент выходного сигнала r-гоэлемента.

При подобном соединении элементов в системе часть входных воздействий может оказаться свободной, то есть не отождествленной ни с какими исходными компонентами . Все такие компоненты объединяются в векторное входное воздействие сложной системы S. Те выходные компоненты, которые остались свободными, образуют векторный выходной сигнал системы S. Аналогичным образом определяется и вектор состояния системы в произвольный момент времени. На рис.4.5 представлен пример 3-х элементной системы с различными связями. Многоэлементная кибернетическая система S получена в виде последовательного соединения, может быть сведена к одноэлементной системе, у которой все соединения входов и выходов учитываются в функционалах f и g, определяемых выражениями (4.6).

Рис.4.5. Пример 3-х элементной кибернетической системы с одним входом и двумя выходами. Подсистема имеет обратную связь, подсистема - не имеет выхода во внешнюю среду; выходное воздействие является входным для , выходное воздействие подсистемы - входным для

Очевидно, в данном случае речь идет об агрегативности (композиции) систем:

(4.8)

где * – знак композиции.

При параллельном соединении одномерных систем, между ними могут оказаться взаимные влияния и свести их к одномерному представлению уже не удается.

Множество соотношений (4.6) определяет структуру кибернетической системы. Структура может быть переменной или постоянной. С помощью введения дополнительных коммутационных элементов система с постоянной структурой может стать системой с переменной структурой. Так, телекоммуникационную структуру преобразуют в систему с переменной структурой соответствующие элементы (коммутаторы, маршрутизаторы, шлюзы). Таким образом, сложную многоэлементную кибернетическую систему характеризует наличие межэлементных взаимодействий и ее состояние в динамике. Именно к этим двум характеристикам (структурной и функциональной) сводятся все основные свойства и особенности систем.