Синусоидальных величин.

Ток, величина которого изменяется во времени по синусоидальному закону и значения которого повторяются через равные промежутки времени, называется переменным синусоидальным током. Он характеризуется периодом, амплитудой, мгновенным значением и фазой. Полный круг изменения синусоидального тока называется циклом, а время одного цикла называется периодом. Длительность периода обозначается символом «Т». Величина обратная периоду называется частотой, она имеет размерность «с^-1», Герц.

f = s w:val="36"/></w:rPr><m:t>1</m:t></m:r></m:num><m:den><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="36"/><w:sz-cs w:val="36"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>T</m:t></m:r></m:den></m:f></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> .

Значение синусоидального тока в данный момент времени называется мгновенным. Мгновенное значение обозначается символом «i». Синусоидальные токи возникают в цепях под действием синусоидальных ЭДС и напряжений, мгновенные значения которых обозначаются символами «e» и «u». Максимальные значения синусоидальных токов напряжений и ЭДС обозначаются символами «I_m», «U_m» и «E_m» и называются амплитудными.

В практике инженерных расчетов удобнее пользоваться не мгновенными и амплитудными значениями синусоидальных величин, а действующими.

Действующее значение синусоидального тока численно равно такому значению постоянного тока, который за время одного периода синусоидального тока выделяет в элементе цепи такое же количество теплоты, что и синусоидальный ток.

Действующие значения синусоидальных электротехнических величин обозначаются символами «I», «U», «Е», они меньше амплитудных в раз.

U= , I= .

Фаза характеризует численное значение и знак синусоидальной величины в данный момент времени, а начальная фаза значение синусоидальной величины и знак в начальный момент времени. Фаза измеряется в угловых единицах или в долях периода.

Любую синусоидальную величину можно описать аналитически, графически, и вращающимся вектором. Аналитическое описание дает уравнение зависимости мгновенного значения синусоидальной величины от времени.

i=I_mSin(ωt+ψ),

где ωt-фаза, а ω-угловая частота. В промышленных сетях большинства стран ω=314 рад/с.

t-время.

ψ-начальная фаза.

Графическое описание, это зависимость мгновенного значения синусоидальной величины от времени, построенная в прямоугольной системе координат.

Рис.2.1. Изображение синусоидального тока в прямоугольной системе

координат (a) и вращающимся вектором (б)

Рис. 2.2 Векторное сложение синусоидальных токов.

При изображении синусоидальной величины вращающимся вектором его длина является амплитудой синусоиды, угол между вектором и положительным направлением горизонтальной оси фазой синусоидальной величины. Скорость вращения вектора есть угловая частота, а его проекция на вертикальную ось мгновенное значение.Система векторов вместе с осями координат называется векторной диаграммой. Векторная диаграмма позволяет свести электротехническую задачу к задаче геометрической, к расчету треугольников. Например, к узлу А цепи подходят токи i₁=10Sin314t, и i₂=5Sin(314t+ ). Необходимо найти закон изменения тока i₃, уходящего от узла.

Построение диаграммы начинают с выбора масштаба. Пусть в одном масштабном отрезке будет 2 А. В момент времени t=0 проекция вектора ₁ на вертикальную ось i₁=10Sin0=0, следовательно, располагается он вдоль горизонтальной оси и имеет длину 5 масштабных отрезков, проекция вектора ₂ в этот же момент времени i₂=5Sin 5, т.е располагается он вдоль вертикальной оси и имеет длину 2,5 масштабных отрезка. Для нахождения амплитуды тока i₃ необходимо сложить по правилу параллелограмма векторы ₁ и ₂, а для нахождения его длины необходимо воспользоваться теоремой Пифагора.

I₃= = 11,18.

Начальная фаза тока i₃ находится по тангенсу угла, образованного вектором ₃ и горизонтальной осью.

ψ = arctg = arctg =26,56⁰.

Закон изменения тока, уходящего от узла:

i₃=11,18Sin(314t+26,56).

Геометрическое сложение векторов может быть заменено на аналитическое, при их описании комплексными числами. Положение вращающегося вектора на плоскости можно обозначить двумя способами:

● задавая его проекции на оси координат;

● задавая его длину (в математике длина вектора называется модулем) и угол, который вектор образует с положительным направлением горизонтальной оси.

Рис. 2.3. Вращающийся вектор

на комплексной плоскости

На комплексной плоскости горизонтальная ось обозначается символами «+1» и «-1» и называется осью действительных величин. Вертикальная ось -символами «+j» и «-j» и называется осью мнимых величин. j= и называется мнимой единицей.

Положение вектора на комплексной плоскости рис.2.3 можно записать:

A=a+jb.

Сомножители 1 перед a и j перед b указывают, на какие оси спроектирован вектор. Подчеркивание снизу символа А означает комплексную величину.

Такая форма записи называется алгебраической, она удобна при проведении операций сложения и вычитания. Например, требуется сложить два вектора: А= 10+j3 и B=15-j7.

А+ B=10+j3+15-j7=25-j4.

Из рис.2.3 видно, что проекции вектора А на оси равны:

a=ACosφ, b=ASinφ,

где А – модуль или длина вектора А (обратите внимание, что этот символ не имеет никаких подчеркиваний).

Тогда:

А= ACosφ+jASinφ=А(Cosφ+jSinφ).

Такая форма записи комплексного числа называется тригонометрической. Учитывая, что Cosφ+jSinφ= , получаем:

А=А .

Полученная форма записи комплексного числа называется показательной, она удобна для умножения и деления. Например, требуется перемножить и разделить векторы: А=5 , B=10 .

A×B=5 ×10 = ,

= = 0,5 .

Для перехода от показательной формы записи к алгебраической и наоборот воспользуемся треугольником, выделенным на рис.2.3. Применяя теорему Пифагора, получим:

A=A = ACosφ+ jASinφ=a+jb= =A .

Например,

A=18 =18Cos(-56)+j18Sin(-56)=10-j15,

A=10-j15= =18

Метод расчета цепей с применением комплексных чисел называется символическим. При его использовании могут применяться все способы и формулы, применяющиеся при расчете цепей постоянного тока.

При дальнейшем изложении аналитическая форма описания синусоидальных токов и напряжений будет дублироваться комплексной.