Геометрический закон распределения (геометрическое распределение) дискретных случайных величин.

Дискретная случайная величина распределена геометрически, если она принимает значения 1,2,…m …(бесконечное, но счетное количество раз) с вероятностями, находящимися по формуле общего члена геометрической прогрессии:

Случайная величина X = m, распределенная геометрически, представляет собой число испытаний (m) до первого положительного исхода.

Составим ряд распределения:

			…	m	…
	p		…		…

Теорема. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной геометрически, вычисляются по формулам:

Пример.

Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более 4‒х выстрелов.

Составить закон распределения числа выстрелов, если вероятность попадания при одном выстреле равна p = 0,7.

Решение:

число выстрелов

Составим закон распределения числа выстрелов:

	0,7	0,21	0,063	0,027

Проверка:

1. Математическое ожидание:

2. Дисперсия:

3. Среднее квадратическое откланение:

4. так как при m = 1 вероятность максимальная, она составляет

p = 0,7.

Пример.

Вероятность поражения цели равна 0,6. Производится стрельба по мишени до первого попадания (число патронов не ограничено). Требуется составить ряд распределения числа сделанных выстрелов, найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Определить вероятность того, что для поражения цели потребуется не более трёх патронов.

Решение:

Случайная величина X - число сделанных выстрелов - имеет геометрическое распределение с параметром p=0,6. Ряд распределения X имеет вид:

				...	m	...
	0,6	0,24	0,096	...	0,6·0,4m	...

Вероятность того, что для поражения цели потребуется не более трёх патронов равнаP(X≤3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0,6+0,24+0,096 = 0,936.