Гармонические колебания точки под действием восстанавливающей силы

Рассмотрим колебания точки по прямой ОХ.

Пусть точка М движется под действием одной силы , которая всегда направлена по прямой к неподвижному центру О и пропорциональна расстоянию до этого центра, то есть . Эту силу называют восстанавливающей.

Пример восстанавливающей силы – сила упругости, тогда с – коэффициент упругости,

.

Уравнение движения точки М:

или .

Обозначим , тогда

- уравнение свободных гармонических колебаний точки М в отсутствие сопротивление среды. Это - дифференциальное линейное однородное уравнение второго порядка, решение которого определяет закон свободных гармонических колебаний [1]:

,

где A – амплитуда колебаний – максимальное отклонение точки М от точки О – центра колебаний, [А]=1м;

α – начальная фаза колебаний, [α] = 1рад.;

- фаза колебаний;

k - круговая частота колебаний, [k]=1рад/с.

Промежуток времени, в течение которого точка М совершает одно полное колебание, называется периодом колебаний Т.

.

Найдем значения А и α. Начальные условия:

при

.

Поделив ,получим

Из полученных выражений следует, что амплитуда колебаний А и начальная фаза α зависят от начальных условий .

Свойства свободных гармонических колебаний:

ü график движения точки, совершающей гармонические колебания, имеет вид :

ü амплитуда А и начальная фаза α зависят от начальных условий;

ü частота колебаний k (период Т)от начальных условий не зависят, это характеристики данной колебательной системы (например, зависят от жесткости пружины с);

ü если помимо восстанавливающей силы на точку действует постоянная сила , то сила не изменяет характер колебаний, но смещает центр колебаний в сторону действия этой силы на величину статического отклонения

, откуда период таких колебаний равен

.

При решении задач встречаются случаи, когда колебательная система состоит из нескольких упругих элементов соединенных тем или иным способом. При этом жесткость эквивалентной пружины определяются следующим образом:

а) b) c)

a) параллельное соединение упругих элементов

с = с₁+ с_2;

b) последовательное соединение упругих элементов

;

c) груз размещен между упругими элементами

с = с₁+ с₂.