RLC-контур. Свободные колебания

В электрических цепях, так же как и в механических системах, таких как груз на пружине или маятник, могут возникать свободные колебания. Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный RLC-контур (рис. 1).

Рис. 1. Последовательный RLC-контур

Когда ключ K находится в положении 1, конденсатор заряжается до напряжения ε. После переключения ключа в положение 2 начинается процесс разрядки конденсатора через резистор R и катушку индуктивности L. При определенных условиях этот процесс может иметь колебательный характер.

Закон Ома для замкнутой RLC-цепи, не содержащей внешнего источника тока, записывается в виде

где – напряжение на конденсаторе, q – заряд конденсатора, – ток в цепи. В правой части этого соотношения стоит ЭДС самоиндукции катушки. Если в качестве переменной величины выбрать заряд конденсатора q (t), уравнение, описывающее свободные колебания в RLC-контуре, может быть приведено к следующему виду:

Рассмотрим сначала случай, когда в контуре нет потерь электромагнитной энергии (R = 0). Тогда

(*)

Здесь принято обозначение: . Уравнение (*) описывает свободные колебания в LC-контуре в отсутствие затухания. По виду оно совпадает с уравнением свободных колебаний груза на пружине в отсутствие сил трения. Рис. 2 иллюстрирует аналогию процессов свободных электрических и механических колебаний. На рисунке приведены графики изменения заряда q (t) конденсатора и смещения x (t) груза от положения равновесия, а также графики тока I (t) и скорости груза υ (t) за один период колебаний.

Рис. 2. Аналогия процессов свободных электрических и механических колебаний

Сравнение свободных колебаний груза на пружине и процессов в электрическом колебательном контуре позволяет сделать вывод об аналогии между электрическими и механическими величинами.

Электрические величины Механические величины Заряд конденсатора q (t) Координата x (t) Ток в цепи Скорость Индуктивность L Масса m Величина, обратная электроемкости Жесткость k Напряжение на конденсаторе Упругая сила kx Энергия электрического поля конденсатора Потенциальная энергия пружины Магнитная энергия катушки Кинетическая энергия Магнитный поток LI Импульс mυ

В отсутствие затухания свободные колебания в электрическом контуре являются гармоническими, то есть происходят по закону

Параметры L и C колебательного контура определяют только собственную частоту свободных колебаний

Амплитуда q₀ и начальная фаза φ₀ определяются начальными условиями, то есть тем способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия. В частности, для процесса колебаний, который начнется в контуре (рис. 1) после переключения ключа K в положение 2, q₀ = Cε, φ₀ = 0.

При свободных колебаниях происходит периодическое превращение электрической энергии W_э, запасенной в конденсаторе, в магнитную энергию W_м катушки и наоборот. Если в колебательном контуре нет потерь энергии, то полная электромагнитная энергия системы остается неизменной:

Все реальные контуры содержат электрическое сопротивление R. Процесс свободных колебаний в таком контуре уже не подчиняется гармоническому закону. За каждый период колебаний часть электромагнитной энергии, запасенной в контуре, превращается в джоулево тепло, и колебания становятся затухающими (рис. 3).

Рис. 3. Затухающие колебания в контуре

Затухающие колебания в электрическом контуре аналогичны затухающим колебаниям груза на пружине при наличии вязкого трения, когда сила трения изменяется прямо пропорционально скорости тела: F_тр = – βυ. Коэффициент β в этой формуле аналогичен сопротивлению R электрического контура. Уравнение свободных колебаний в контуре при наличии затухания имеет вид

(**)

Физическая величина δ = R / 2L называется коэффициентом затухания. Решением этого дифференциального уравнения является функция

которая содержит множитель exp (–δt), описывающий затухание колебаний. Скорость затухания зависит от электрического сопротивления R контура. Интервал времени в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раза, называется временем затухания.

ДобротностьQ колебательной системы:

где N – число полных колебаний, совершаемых системой за время затухания τ. Добротности Q любой колебательной системы, способной совершать свободные колебания, может быть дано энергетическое определение:

Для RLC-контура добротность Q выражается формулой

Добротность электрических контуров, применяемых в радиотехнике, обычно порядка нескольких десятков и даже сотен.

Cобственная частота ω свободных колебаний в контуре с не очень высокой добротностью несколько меньше собственной частоты ω₀ идеального контура с теми же значениями L и C. Но при Q ≥ (5÷10) этим различием можно пренебречь.