Частица в трехмерной потенциальной яме

Это --- обобщение предыдущей задачи. Частица может двигаться в ку-бическом объеме с длиной ребра l. Нетрудно убедиться, что общее реше-ние для волновой функции представимо в виде произведения одномерных

30.5. Уравнение Шредингера для простейших систем

139

волновых функций, полученных в предыдущей задаче:

Такая волновая функция соответствует очевидному факту, что движе-ния вдоль трех осей не зависят друг от друга и каждое описываетсяпрежними одномерными волновыми функциями. Энергия, как легко до-гадаться, будет равна сумме энергий движения по осям x, у, z:

Состояние системы теперь определяется тремя квантовыми числами , и , принимающими, как и прежде, целые значения. Здесь мы впер-вые сталкиваемся с важным понятием вырождения энергетических уров-ней, т.е. с ситуацией, когда разные состояния системы имеют ту жеэнергию. В самом деле, минимальная энергия системы достигается приминимальных значениях всех квантовых чисел, т.е. при = = = 1.Эта энергия равна

и ей соответствует одна волновая функция . Говорят, что основ-ное состояние не вырождено (невырожденность состояния с минимальнойэнергией --- общее правило). Первое возбужденное состояние получается,когда одно из квантовых чисел равно 2, а остальные по-прежнему равныединице; энергия его

Но такую энергию имеют теперь три состояния с волновыми функциями (квантовое число, равное 2, можно выбрать тремя спо-собами). Говорят, что кратность вырождения первого возбужденногоуровня равна 3. Естественно, в другой системе может быть совершенноиная кратность вырождения (или отсутствие такового). Последующиесостояния частицы в потенциальной яме с бесконечными стенками такжевырождены. Ясно, что вырождение уровней связано с симметрией си-стемы, с равноправием всех осей, если бы размеры ямы были разными(l1, l2, l3) по всем трем направлениям, то для энергии мы бы получиливместо

Глава 30. Уравнение Шредингера

и вырождение могло бы иметь место лишь при определенных соотноше-ниях между длиной, шириной и высотой потенциального ящика.