Движение микрочастицы в прямоугольной потенциальной яме. Потенциальный барьер в классической механике.

Потенциальный барьер в классической механике.

Если – прохождение.

Если – отражение.

Совсем иначе выглядит поведение частицы согласно квантовой механике:

а) даже при имеется отличная от нуля вероятность того, что частица отразится от барьера и полетит в обратную сторону.

б) если имеется отличная от нуля вероятность того, что частица проникает сквозь барьер и окажется в области, где .

Такое поведение микрочастицы вытекает непосредственно из уравнения Шредингера.

Пусть барьер представляет собой тонкую потенциальную стенку. частица падает на барьер слева.

Область 1: (19)

Область 2: (20)

Область 3: (21)

Обозначения: (22)

Решениями этих уравнений будут функции:

(23)

(24)

(25)

- амплитуда волны, падающей на барьер слева,

- амплитуда отраженной волны в области I.

- амплитуда волны, прошедшей через барьер в область II,

- амплитуда отраженной волны (от поверхности в точке ) в области II.

- амплитуда волны, прошедшей в область III,

– т.к. в области III имеется только волна, прошедшая через барьер и распространяющаяся слева направо.

Решение вида соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси , а решение волне, распространяющейся в противоположном направлении.

Для нахождения остальных коэффициентов воспользуемся условиями, которым должна удовлетворять функция .

– условие непрерывности (26)

(27)

Эти условия требуют, чтобы была гладкой, т.е. не имела изломов. Условий (7) и (8) вполне достаточно, чтобы найти различные амплитуды в явном виде. Поскольку плотность вероятности, связанная с волновой функцией, пропорциональна квадрату амплитуды этой функции, мы можем ввести следующие понятия.

– коэффициент отражения частицы от поверхности барьера в точке . Он определяет вероятность отражения частицы от потенциального барьера.

– коэффициент прохождения (или прозрачности).

В результате вычислений коэффициента прозрачности получаем

(28)

(29)

Прошедшая волна экспоненциально затухает в пределах барьера.

Вывод: вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер сильно зависит:

а) от ширины барьера ;

б) от высоты барьера, точнее от ;

в) от массы частицы m.

Например, если при какой-то ширине барьера величина , то при увеличении ширины в 2 раза коэффициент прозрачности уменьшается в 100 раз.

В случае потенциального барьера произвольной формы (29) принимает более общий вид:

(30)

где .

Парадокс- частица в туннеле должна бы обладать отрицательной кинетической энергией (в туннеле ).

При преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через туннель в это барьере. В связи с этим рассмотренное явление называют туннельным эффектом. Оно объясняется тем, что микрочастицы обладают волновыми свойствами.