Квантовая частица в одномерной

Уравнение Шредингера

В общем случае поведение квантовой частицы описывается волновой функцией (амплитудой вероятности)

, (7-1)

которая является решением дифференциального волнового уравнения Шредингера

, (7-2)

– общее (временнóе) уравнение Шредингера,

где m – масса частицы,

– мнимая единица,

– оператор Лапласа.

Для стационарных полей, когда (в одномерном случае)

.

Подставив это выражение в (7-2), после преобразований получим:

(7-3)

– уравнение Шредингера для стационарного поля.

Решением (7-3) является волновая функция

(7-4)

Для свободной частицы W_p = 0, тогда уравнение Шредингера примет вид:

Обозначив (7-5)

,

где k - волновое число квантовой частицы,

получим

– однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

Решением этого уравнения является обычная гармоническая функция вида синуса или косинуса

,

при этом k – волновое число, а значит и импульс p, и энергия частицы W могут быть любыми!

Квантовая частица в одномерной

бесконечно глубокой «потенциальной яме»

I	II	III
Wp= ¥	Wp = 0	Wp = ¥
yI = 0	yII-?	yIII =0

или

Решением этого уравнения является

Но для х = 0 y(0) = 0, тогда j₀ = 0,

для х = y( ) = 0, тогда sin(k ) = 0.

k = np, n = 1, 2, 3, … .

откуда

(7-6)

где n = 1, 2, 3, … .

– квантование волнового числа, импульса и энергии частицы.

Значит поведение квантовой частицы в различных состояниях (с различными значениями k_n, p_n и W_n) будет описываться разными волновыми функциями

, n = 1, 2, 3, … . (7-7)

Воспользовавшись условием нормировки волновой функции

получим выражение для амплитуды y₀

Итак, квантовая частица – это волна - волна де Бройля. Но волна в ограниченной области пространства - это стоячая волна, для которой должно выполняться условие:

– условие квантования волн де Бройля.