Квантовая частица в одномерной

Уравнение Шредингера

 

В общем случае поведение квантовой частицы описывается волновой функцией (амплитудой вероятности)

 

, (7-1)

 

которая является решением дифференциального волнового уравнения Шредингера

 

, (7-2)

 

– общее (временнóе) уравнение Шредингера,

где m – масса частицы,

– мнимая единица,

– оператор Лапласа.

 

Для стационарных полей, когда (в одномерном случае)

 

.

 

Подставив это выражение в (7-2), после преобразований получим:

 

(7-3)

 

– уравнение Шредингера для стационарного поля.

 

Решением (7-3) является волновая функция

 

(7-4)

 

Для свободной частицы Wp = 0, тогда уравнение Шредингера примет вид:

 

 

Обозначив (7-5)

,

 

где k - волновое число квантовой частицы,

получим

 

– однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

 

Решением этого уравнения является обычная гармоническая функция вида синуса или косинуса

 

,

 

при этом k – волновое число, а значит и импульс p, и энергия частицы W могут быть любыми!

 

Квантовая частица в одномерной

бесконечно глубокой «потенциальной яме»

I II III
Wp= ¥ Wp = 0 Wp = ¥
yI = 0 yII-? yIII =0

 

или

 

Решением этого уравнения является

 

 

Но для х = 0 y(0) = 0, тогда j0 = 0,

 

для х = y( ) = 0, тогда sin(k ) = 0.

 

k = np, n = 1, 2, 3, … .

 

откуда

(7-6)

 

где n = 1, 2, 3, … .

– квантование волнового числа, импульса и энергии частицы.

 

Значит поведение квантовой частицы в различных состояниях (с различными значениями kn, pn и Wn) будет описываться разными волновыми функциями

 

, n = 1, 2, 3, … . (7-7)

 

Воспользовавшись условием нормировки волновой функции

 

 

получим выражение для амплитуды y0

 

 

Итак, квантовая частица – это волна - волна де Бройля. Но волна в ограниченной области пространства - это стоячая волна, для которой должно выполняться условие:

 

– условие квантования волн де Бройля.

 

 

 


 


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Волновая функция и ее статистический смысл | Энергетические уровни




Дата добавления: 2016-01-18; просмотров: 1025;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.011 сек.