Квантовая теория теплоемкости твердого тела

(теория Дебая)

(**)

Учитывая вырождение по спину

т. к. .

. (***)

Тепловые волны в твердом теле – это стоячие волны, для которых

.

Тогда при n ® 1 а это большая значит

при n ® ¥ ¹ 0, значит

Подставим сюда (***), получим

Откуда

(12-4)

Для твердого тела n ~ 10²⁸ м^-3, ~ 10³ м/с, тогда

с^-1.

Тогда, с учетом (*), (**) и (***), получим

Введем обозначения:

,

- (12-5)

- характеристическая температура Дебая, при которой тепловая энергия равна максимальной энергии фононов для данного твердого тела.

~ 10³ м/с, n ~ 10²⁸ м^-3, с^-1.

тогда К !

С учетом обозначений получим

.

В общем случае вычислить интеграл – численно!

В предельных случаях:

1) T >> T_D , т. е. х << 1

Тогда

Для 1 моля вещества

Тогда

,

что точно соответствует классической теории Дюлонга-Пти.

2) T << T_D , х_max ® ¥

(табличный интеграл)

Подставив сюда (12-5), получим

.

Молярная теплоемкость

, (12-6)

что точно соответствует эксперименту!

Для металлов – есть еще и свободные электроны

Для 1 моля , , получим

, (12-7)

при T << T_D , ,

при T >> T_D , .