Матричная запись многофакторной регрессии

Данные для построения уравнения регрессии, сведем в таблицу:

Таблица 1

(1)

Подставляя в уравнение (1) значения из каждой строки таблицы, получим n уравнений.

(2)

e_i – случайные отклонения (остатки), наличие которых объясняется тем, что выборочные точки не ложатся в точности на плоскость (1), а случайным образом разбросаны вокруг нее.

Чтобы записать систему (2) в матричном виде, вводим матрицу X, составленную из множителей при коэффициентах b₁, b₂, …, b_p.

Матрица . Размерность матрицы n´p+1.

Еще вводятся матрицы:

Вектор столбец , , , размерностью n´1.

Тогда в матричной форме уравнение регрессии записывается так: .

Полуширина доверительного интервала рассчитывается по формуле:

,

где - среднее квадратическое отклонение остатков;

- критическая точка распределения Стьюдента, соответствующая уровню доверия g и степени свободы k=n-p-1.

вектор точка из области прогноза.

Нелинейная модель

Многие экономические процессы не могут быть адекватно описаны линейной зависимостью вида: y=b₀+b₁x.

Примером таких экономических процессов: жизненный цикл товаров, процесс накопления капитала, маркетинговые усилия фирм и др.

Наиболее часто используются 5 видов нелинейной зависимости, которые предпочтительней перед другими зависимостями тем, что их удается линеаризовать.

1. Степенная y=Ax^b

Обозначим V= Lny; u=Lnx; b₀ =LnA и b₁ =b.

Получили V= b₀ + b₁ u.

Обратное преобразование: V= LnyÞy=e^v

A=e^b0, b=b₁.

2. Экспоненциальная =A×е^bх

Обозначим V= Lny; u=x; b₀ =LnA и b₁ =b .

Получили V= b₀ + b₁ u.

Обратное преобразование: V= LnyÞy=e^v

A=e^b0, b=b₁.

3. Логарифмическая зависимость y=A+Blnx.

Обычно используется, если значения фактора в несколько раз больше значений показателя.

Сделаем замену: V= y; u=Lnx; b₀ =A и b₁ =B. Получили V= b₀ + b₁ u.

Обратное преобразование: V= yÞy=v

A=b₀, b=b₁.

4. Гиперблическая зависимость

Сделаем замену: V= y; u= ; b₀ =A и b₁ =B. Получили V= b₀ + b₁ u.

Обратное преобразование: V= yÞy=v

A=b₀, b=b₁.

5. Степенная

Сделаем замену: V= y; u= ; b₀ =A и b₁ =B. Получили V= b₀ + b₁ u.

Обратное преобразование: V= yÞy=v

A=b₀, b=b₁.