Аналитическое описание процесса.

 

Аналитическое описание процесса нестационарной теплопровод­ности включает в себя дифференциальное уравнение и условия одно­значности.

Дифференциальное уравнение теплопроводности при qv = 0 имеет вид:

(78)

Условия однозначности задаются в виде:

1) Физических параметров a, λ,c, ρ.

2) Формы и геометрических размеров тела l0, l1, … ,ln

3) Температуры тела в начальный момент времени (79)

τ = 0 : t= t0= f(x,y,z)

4) Граничные условия задаются чаще всего в виде

граничных условий Ш рода:

 

Дифференциальное уравнение теплопроводности (78) совмест­но с условиями однозначности (79) дает законченную математическую формулировку рассматриваемой задачи. Решение ее заключает­ся в отыскании функции:

, (80)

которая удовлетворяла бы уравнению (78) и условиям (79).

Рассмотрим более подробно решение данной задачи, т.е. нахождение функции вида (80) для различных тел.

 

3. Охлаждение (нагревание) неограниченной пластины.

 

Задача формулируется следующим образом. Плоская неограничен­ная пластина (стенка) толщиной 2δ, имеющая начальный момент времени τ=0 во всех точках одинаковую температуру t0, помещается в среду, температура которой tж < t0.

 

Рис.10. К охлаждению плоской

неограниченной пластины (при

τ=0, задано t0=const, θ0=const)

 

Граничные условия III рода.

 

Температура среды tж во время охлаждения поддерживается постоянной. Охлаждение плас­тины происходит через обе ее поверхности с одинаковой интенсивностыо путем теплоотдачи. Коэффициент теплоотдачи α задан и ос­тается постоянным в течение всего процесса. Известен также материал, из которого выполнена пластина, т.е. известны его теплофизические характеристики

a, λ, c, ρ. Требуется найти тем­пературное поле пластинки в произволь­ный момент времени t >0.

Отсчет температуры пластины для любого момента времени будем вести от температуры окружающей среды tж, т.е.

t - tж = θ

Будем называть θ избыточной тем­пературой. С учетом этого обозначе­ния и с учетом того, что температурное поле при заданных условиях будет одномерным, математически за­дачу можно сформулировать следующим образом.

Дифференциальное уравнение теплопроводности:

 

(81)

 

Начальные условия: при τ=0: θ= θ0= t0 – tж (82)

 

Граничные условия: на оси пластины при x=0:

на поверхности пластины при х= :

 

Решение уравнения (81) проводят одним из методов, разра­ботанных математической физикой, чаще всего методом разделения переменных, который заключается в следующем.

Решение дифференциального уравнения (81) ищем в виде про­изведения двух функций, одна из которых является функцией только времени τ, а другая - только координаты х.

(83)

 

 

После подстановки (83) в уравнение (81) получим:

или

Разделив переменные в последнем уравнении, запишем:

(84)

Левая часть уравнения (84) есть функция только τ, a правая - функция только х.

Если зафиксировать аргумент х и менять только τ, то при любом его значении левая часть уравнения (84) равна посто­янной величине, стоящей в правой части, т.е. φ′(τ)/φ(τ)=const.Аналогично при фиксации τ и изменении х правая часть уравнения (84) для любого значения х должна равняться постоянной величине, стоящей в левой части, которая зависит только от τ, т.е. ψ″(x)/ψ(x)=const.

Так как равенство (84) должно иметь место при любых зна­чениях x и τ, то обе его части должны быть равны одной и той же постоянной величине. Обозначим эту величину –k2=const. Постоянным k определяется из граничных условий, а знак минус перед k2 объясняется следующим. Искомое решение должно удовлетворять исходному дифференциальному уравнению (81) для затухающего процесса (в данном случае уравнению теплопроводности), при котором тело стремится к равновесному тепловому состоянию, а это может быть обеспечено лишь при отрицательном k2.

Исходя из сказанного уравнение (84) запишем в виде:

откуда =0 (85)

(86)

 

В результате мы получили систему обыкновенных дифференциаль­ных уравнений (85) и (86).

 

 

Уравнению (85) удовлетворяет функция:

, (87)

 

где экспоненциальная функция ℮-ak τ с увеличением времени стремится к нулю, т.е. обеспечивает затухание процесса;

 

Уравнению (86) удовлетворяет функция:

Подставляя полученные выражения для φ(τ) и ψ(x) в уравнение (83), получаем частное решение:

(88)

Выражение (88) удовлетворяет исходному уравнению (84) при любых значениях постоянных С1, С2, С3 и k.

Чтобы уравнение (88) было решением поставленной задачи, его нужно подчинить начальным и граничным условиям.

Подчиняя уравнение (88) граничным условиям (82) при х=0:

,

находим:

или , т.е.

Следовательно, С2=0.

Это означает, что частное решение

ψ(x)= С2*sin(kx)

использовать нельзя, т.к. оно не удовлетворяет заданным граничным условиям. Действительно, поскольку sin(kx) является нечетной функцией, т.е. такой, которая меняет свой знак при пере­ходе от +х к -х, а не нашей задаче температура (функция) ос­тается положительной независимо от х.

Если учесть, что С2=0 и обозначить С12=А, то уравнение (88) принимает вид:

(89)

Подчиняя (89) второму граничному условию

, (90)

получим:

(91)

Из уравнения (91) получаем

,

или (92)

В уравнении (92) обозначим:

 

, ,

 

где - безразмерный комплекс, называемый числом Био.

 

Число Bi является важной характеристикой процесса тепло­проводности. Оно представляет собой отношение внутреннего терми­ческого сопротивления теплопроводности δ/λ к внешнему термическому сопротивлению теплоотдачи 1/α:

Тогда уравнение (92) запишется

(93)

Уравнение (93) называют характеристическим уравнением. Анализ этого уравнения показывает, что при каждом значении числа Bi су­ществует бесконечное множество решений. Наиболее просто уравнение (93) решается графическим способом. Обозначим левую часть (93) через y1=ctgμ, а правую- через y2=μ/Bi. п ересечение котангенсоиды y1 с прямой y2 дает значение корней характеристического уравнения, т.е. μ (рис. 11). Из рис. 11 следует, что мы имеем бесконечное множество значений ве­личины μn, причем каждое последующее больше предыдущего:

μ1 < μ2 < μ3 <…<μn<…

Важно отметить, что каждому значению числа Bi отвечает своя

Рис.11. Решение урав­нения (93). совокупность корней уравнения (93).

 

При Bi→∞ прямая y2=μ/Bi сов­падает с осью абсцисс и корни уравне­ния (93) будут равны:

μ1=π/2, μ2=3π/2, μ3=5π/2, … , μn=(2n-1)π/2

 

 

При Bi→0 прямая y2=μ/Bi совпадает с осью

ординат, при этом корни уравнения (93)

равны:

μ1=0, μ2=π, μ3=2π, … , μn=(n-1)π,

где n = 1, 2, 3 …

Для других конечных значений числа Bi величины μn имеют промежуточные значения и приводятся в таблицах справочной и учеб­ной литературы.

 

Уравнение (89) представим в следующем виде:

,

 

 

где

,

 

каждому найденному значению корня будет соответствовать свое частное распределение температуры:

(94)

Полученные частные решения (94) будут удовлетворять дифференциальному уравнению (2.96) при любых значениях постоянных А1, А2, … , Аn, но ни одно из этих решений не будет соответ­ствовать действительному распределению температуры в теле. Однако путем наложения бесконечного числа таких распределений при соответствующем выборе значений Аn можно воспроизвести любую действительную температурную кривую.

На основании сказанного общее решение можно представить суммой бесконечного ряда:

(95)

Постоянную Аn в уравнении (94) находят, подчиняя урав­нение (94) начальному условию.

Опуская промежуточные выводы, приведем результирующее выражение для коэффициента Аn в данной задаче:

(96)

 

Подставляя значение Аn, записанное для случая равномерно­го распределения температуры в пластине в начальный момент вре­мени, в уравнении (94), окончательно получим:

(97)

Уравнению температурного поля (96) обычно придают безразмерную форму. Разделим левую и правую части уравнения (96) на θ0.

(98)

 

В уравнении (98) введем следующие обозначения:

 

Θ=θ/θ0 - безразмерная температура;

 

Χ=х/δ - безразмерная координата;(отметим, что X меняется от 0 до 1).

 

F0=aτ/δ2 - число Фурье, представляющее собой безразмерный комплекс (часто называют - безразмерное время);

 

Dn= Аn0=2sin μn /(μn+ sin μn *cos μn) - безразмерный коэффициент.

 

С учетом этих обозначений уравнение (97) принимает вид:

(99)

 

Значения Dn=f(Bi) и μn= f(Bi) приводятся в спра­вочной литературе.

 

3.1.Анализ полученного решения.

 

Так как μ1, μ2, μ3,…, μn представляет собой ряд возрастаю­щих чисел, то чем больше μ, тем меньше роль последующего члена ряда по сравнению с предыдущим. Кроме того, чем больше число F0 , тем быстрее будут убывать члены ряда с увеличением n.

Многочисленные исследования показали, что уже при F0≥0,3 ряд (99) становится настолько быстросходящимся, что распределе­ние температуры достаточно точно можно описать первым членом ряда:

(100)

 

или (101)

 

Величина D1 является функцией только числа Bi и, как сказа­но выше, приводится в таблицах. Кроме того, если рассматривать температуру для определенного значения X , то и cos(μ1*X ) становится функцией только числа Bi.

 

Для оси пластины Χ=х/δ=0 и сos(μ1*0)=1,

 

Для поверхности пластины Χ=х/δ=1 и сos(μ1*1)= сosμ1

 

Для оси пластины произведение D1cos(0)=D1 обозначим как функцию N(Bi). Тогда уравнение (101) принимает вид:

(102)

Для поверхности пластины произведение D1cosμ1 обозначим как функцию P(Bi) и уравнение (102) запишется:

(103)

 

Функции N(Bi) и P(Bi) табулированы и для расчета могут быть взяты из справочников.

Из уравнения (99) следует, что при охлаждении (нагревании) пластины для любого момента времени при заданных граничных усло­виях поле температуры будет иметь вид симметричной кривой с максимумом на оси пластины (X=0). Для каждого последующего момента будет своя кривая, монотонно убывающая к поверхностям пластины. При этом для любого момента времени касательные к температурным кривым в точках X= ±1 проходят через две направляющие точки +А и –А, расположенные на расстоянии ±Х0 от поверхности пластины, причем Х0 =1/Bi (рис.12).

 

Для доказательства этого свойства рассмотрим температурное поле для произвольного момента времени F0>0.

Умножив граничное условие (2.98) при x=δ на δ/θ0, по­лучим:

Запишем последнее выражение в безразмерной форме:

(а)

 

 
 

Рис.12. Изменение температурного поля в неограниченной пластине при ее охлаждении.

Из рис.12 следует, что

(б)

 

Из выражения (а) и (б) получаем

 

Х0 = 1/Bi (104)

 

Из уравнения (104) следует, что расстояние точки А от по­верхности пластины определяется заданными условиями однозначности, которые справедливы для любого момента времени. Сказанное справедливо не только для пластины, но и для цилиндра, шара и тел других геометрических форм.

Доказанное свойство температурных кривых дает возможность определить характер изменения температуры в теле при заданном значении числа Bi. Рассмотрим при этом три случая.

Рис.13.Распределение температуры при охлаждении пдастины.

1. Bi→∞ (практически Bi >100).

Если число Bi стремится к бесконечности, то температура поверх­ности пластины сразу становится равной температуре окружающей среды tж, в ко­торую помещена пластина.

Рис.14.Распределение

температуры при

охлаждении пластины.

 

Последнее следует из уравнения (104): при Bi→∞ Х0=1/Bi=0. Это означает, что точка пере­сечения касательных к температурным кри­вым с осью X находится на поверхнос­ти пластины (рис.13). Из выражения для числа следует, что при за­данных конечных значениях δ и λ, Bi→∞ тогда, когда α→∞, т.е. когда имеет место очень большая интенсивность отвода теплоты от поверхности. В этих случаях процесс охлаждения определяется физическими свойствами и разме­рами тела.

 

 

2. Очень малые числа Bi (практически Bi <0,1).

При малых числах Bi температура на по­верхности пластины незначительно отлича­ется от температуры на оси, т.е. темпе­ратура по толщине пластины распределяет­ся равномерно и кривая температур оста­ется почти параллельной оси ОХ для лю­бого момента времени (рис.14).

При Bi→0 Х0=1/Bi→∞. Т.е. касательные к температурным кривым в точ­ках пересечения их с поверхностью должны пересекаться с осью абсцисс в бесконечности.

Из выражения видно, что малые значения числа Bi могут иметь мес­то при малых размерах толщины пластины δ, при больших значениях коэффициента теплопроводности λ и малых значениях коэффициента теплоотдачи α.

В рассматриваемом случае процесс охлаждения (нагрева) тела определяется интенсивностью теплоотдачи на поверхности пластины.

Иначе говоря, процесс выравнивания температуры в теле происходит существенно интенсивнее, чем отвод теплоты с поверхности. Задача становится внешней.

 

Рис.15. Распределе­ние

температуры при

охлаждении пластины

/3. Число Bi находится в пределах 0,1≤ Bi < 100.

В этом случае температурные кривие для любого момента времени будут выглядеть так, как показано на рис. 15.

Здесь интенсивность процесса охлаждения (нагревания) определяется как внутренним, так и внешним терми­ческим сопротивлением.

 

 

3.2 Графическое реше­ние задач нестационарной теплопровод­ности.

 

 

Как следует из уравнений (102) и (103), при заданной безразмерной координате X, безразмерная темпера­тура θ становится функцией только чисел Bi и F0:

и

Логарифмируя уравнения (102) и (103), получим:

(105)

Из уравнений (105) следует, что при заданном значении X и заданном Bi натуральный логарифм θ линейно зависит от времени (числа Фурье). Последнее обстоятельство дает возможность графического решения уравнений (102) и (103). В справочной и учебной литературе приводятся графики зависимости θ от чисел Bi и F0 для середины и поверхности пластины, которые имеют вид, представленный на рис. 16

 

 
 

 

Рис.16. Зависимость θ=f1(Bi, F0) для середины пластины.

 

Порядок расчета температуры для середины пластины или для поверхности пластины (т.е. при X=0 илиХ=1) в заданный момент времени по графикам сводится к следующему:

1. Определяют число F0 по заданным τ, а и δ;

2. Вычисляют число Bi по известным α, λ и δ;

3. На оси абсцисс графика откладывают найденное значение числа F0, проводят вертикаль по наклонной прямой, соответствующей найденному значению Bi и, проектируя полученную точку на ось ординат, получают значение θ (рис.16).

4. По найденной безразмерной температуре θх=0 для середины пластины или θх=1 для поверхности пластины определяют исходную искомую температуру в середине пластины tх=0 или на поверхности пластины tх=δ.

С помощью указанных графиков можно решить обратную задачу: найти промежуток времени, необходимый для охлаждения (или нагре­вания) данной точки пластины (при X=0 или Х=1) до заданной температуры. В этом случае рассчитывают θ и Bi и по ним находят число F0 (см.рис.16). По найденному числу F0 вычисляют время τ.

 








Дата добавления: 2016-01-18; просмотров: 1410; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2022 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.061 сек.