Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена
Так как процесс конвективной теплоотдачи характеризуется совокупностью тепловых и гидродинамических явлений, то такой процесс в виде может быть описан системой дифференциальных уравнений, учитывающих как тепловые, так и гидродинамические явления. В систему дифференциальных уравнений конвективного теплообмена входят: уравнение энергии, уравнение движения, уравнение сплошности, уравнение теплоотдачи (теплообмена).
1. Уравнение энергии.
Дифференциальное уравнение энергии описывает температурное поле в движущейся жидкости, т.е. устанавливает связь между пространственным и временным изменением температуры в любой точке движущейся жидкости.
(106)
Если скорости ωx=ωy=ωz=0(например, для твердого тела), то уравнение энергии переходит в выведенное нами ранее уравнение теплопроводности (16).
Многочлен, стоящий в левой части уравнения (106), представляет собой полную производную от температуры по времени, т.к. если t=f(τ, x, y, z), то на основании понятия о полной производной имеем:
где , ,
С учетом сказанного уравнение (106) запишется:
(107)
2. Уравнение движения.
В общем случае трехмерного движения несжимаемой жидкости с постоянными физическими параметрами скоростное поле описывается уравнениями движения, каждое соответственно в проекциях сил на оси Ox, Oy, Oz:
для оcи Oх
(108)
для оси Oy:
(109) для оcи Oz:
(110)
Уравнения (108)-(110) называют уравнениями Навье-Стокса. Все слагаемые этих уравнений имеют размерность силы, отнесенной к единице объема.
3. Уравнение сплошности.
Уравнение сплошности или неразрывности для сжимаемых жидкостей имеет вид:
(111)
Для несжимаемых жидкостей при ρ=const уравнение (111) запишется
(112)
Таким образом, уравнения энергии (106), движения (108),(109),(110) и сплошности (111) составляют систему уравнений, которая математически описывает процесс конвективного теплообмена для несжимаемой жидкости. Если искомой величиной является коэффициент теплоотдачи, то система должна быть дополнена дифференциальным уравнением теплоотдачи.
4. Уравнение теплоотдачи.
Это уравнение получено ранее в разделе теплопроводности
(113)
Дифференциальные уравнения (106), (108)-(110),(111) и (112) описывают процесс теплоотдачи в самом общем виде. При решении конкретных задач конвективного теплообмена к системе указанных дифференциальных уравнений необходимо добавить условия однозначности. Условия однозначности задаются аналогично условиям однозначности в разделе теплопроводности, т.е. они включают в себя: геометрические, физические, начальные или временные и граничные условия.
Таким образом, конвективная теплоотдача описывается приведенной системой дифференциальных уравнений и условиями однозначности с большим количеством переменных. Попытки аналитического решения этой системы уравнений наталкиваются на серьезные трудности. В настоящее время такое решение получено лишь для отдельных, наиболее простых задач процесса теплоотдачи и лишь при целом ряде упрощающих предпосылок. Поскольку эти предпосылки отличаются от действительных условий протекания процессов, то и полученные аналитические решения плохо согласуются с опытными данными. Тем не менее, наличие дифференциальных уравнений, описывающих конвективный теплообмен, необходимо и для других методов расчета конвективной теплоотдачи.
Дата добавления: 2016-01-18; просмотров: 1626;