Основы теории подобия.
При изучении различных физических явлений применяют два метода исследований: экспериментальныйи теоретический(или метод математической физики). Достоинством экспериментального метода исследования является достоверность получаемых результатов. Основной недостаток экспериментального метода исследования заключается в том, что результаты данного эксперимента не могут бить использованы применительно к другому явлению, которое в деталях отличается от изученного. Следовательно, при экспериментальном методе каждый конкретный случай должен служить самостоятельным объектом изучения. Последнее обстоятельство является органическим недостатком экспериментального метода исследований.
Второй метод исследования для нахождения количественных зависимостей широко применяется современной наукой и рассматривается в математической или теоретической физике. Суть этого метода состоит в том, что изучаемое физическое явление описывается дифференциальным уравнением (или системой уравнений), т.е. составляется математическая модель этого явлений. Так как при этих уравнений используются самые общие законы природы, то дифференциальное уравнение (или система уравнений) является математической моделью целого класса явлений. Под классом понимается такая совокупность явлений, которая характеризуется одинаковым механизмом процессов и одинаковой физической природой. Для того, чтобы однозначно описать единичное явление, входящее в класс явлений, необходимо к дифференциальному уравнению (или системе уравнений) добавить условия однозначности. В большинстве случаев и, в частности, при описании конвективного теплообмена из-за сложности изучаемых явлений найти решение, удовлетворяющее системе дифференциальных уравнений и условиям однозначности, невозможно. Следовательно, если недостатком экспериментального метода исследования является невозможность распространения результатов, полученных в данном опыте , на другие явления, отличающиеся от изученного, то недостатком математической физики является невозможность перейти от класса явлений, характеризуемых дифференциальными уравнениями и условиями однозначности, к конкретному единичному явлению. Каждый из этих методов в отдельности не может быть эффективно использован для решения практических задач.
Если положительные стороны математического и экспериментального методов исследования объединить в целое, то получим универсальный аппарат изучения различиях явлений природа. Такое объединение обоих методов осуществляется теорией подобия.
Теория подобия - это учение о подобии явлений. Впервые с понятием подобия мы встречаемся в геометрии, откуда этот термин и заимствован. Как известно, геометрически подобные фигуры, например треугольники, обладают свойством, что их соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны, т.е.
(117)
где l1', l2', l3'- линейные размеры одной фигуры;
l1″, l2″, l3″- сходственнее линейные размеры другой фигуры;
Cl - константа геометрического подобия.
Условие (116) является математической формулировкой геометрического подобия.
Понятие подобия может быть распространено на любые физические явления. Можно говорить, например, о подобии движения двух потоков жидкости-кинематическом подобии; о подобии сил, вызывающих подобные между собой движения, динамическом подобии; о подобии распределения температур и тепловых потоков - тепловом подобии и т.п.
Для сложных физических явлений должны выполняться следующие условия подобия:
1) Понятие подобия в отношении физических явлений применимо только к явлениям одного и того же рода, которые качественно одинаковы и описываются одинаковыми уравнениями, как по форме, так и по содержанию.
Если же математическое описание двух каких-либо явлений одинаково по форме, но различно по физическому содержанию, то такие явления называются аналогичными. Такая аналогия существует, например, между процессами теплопроводности, электропроводности и диффузии.
2) Обязательной предпосылкой подобия физических явлений должно быть геометрическое подобие, т.е. подобные явления всегда протекают в геометрически подобных системах.
3) При анализе подобных явлений сопоставлять между собой можно только однородные величины и лишь в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени.
Однородными называются такие величины, которые имеют один и тот же физический смысл и одинаковую размерность.
Сходственными точками геометрически подобных систем называются такие точки, координаты которых удовлетворяют условию (116):
, ,
Два промежутка времени τ' и τ″ называются сходственными, если они имеют начало отсчета, и связаны преобразованием подобия, т.е. τ″=Сτ*τ'
4) Подобие двух физических явлений означает подобие всех величин, характеризующих рассматриваемых явлений.
Это означает, что в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени любая величина φ' первого явления пропорциональна однородной с ней величине φ" второго явления, т.е.
φ"= Сφ*φ'
где Сφ- константа подобия (или множитель подобного преобразования).
При этом физическая величина имеет свою константу подобия, например:
, , , ,
Приведенные константы подобия называют: линейная, плотностная, температурная, скоростная, временная.
Константы подобия для различных величин в подобных явлениях нельзя назначать или избирать произвольно. Между ними имеются строго определенные соотношения, которые выводятся из анализа математического описания процессов. Эти соотношения имеют центральное значение в теории подобия, так как они устанавливают существование особых величин, называемых числами или критериями подобия, которые для всех подобных между собой явлений сохраняют одно и то же числовое значение. Покажем это на примере. Для примера воспользуемся дифференциальным уравнением теплоотдачи. Это уравнение для сходственных точек двух подобных систем запишется так:
для первой системы (а)
для второй системы (б)
Обозначим константы подобия:
, , , (в)
где l- характерный (определяющий) размер системы. Из уравнений (в) получаем:
, , , , ,
Подставив эти выражения в уравнение (б), получим
Сократив на Сt и разделив левую и правую часть на Сα, получим
(г)
Сравнивая (а) и (г), получим, что
(д)
Из уравнения (д) следует, что выбор комплекса констант подобия ограничен условием: любая их комбинация должна быть равна единице. Величину С называют индикатором подобия.
Заменив значения констант подобия в уравнении (д) из уравнений (в), получаем:
,
Умножив левую и правую часть последнего уравнения на α″*l″/λ″, получим
α'*l'/λ'=α″*l″/λ″
или в общем случае (е)
Такие комплексы величин называются числами подобия.
Числа подобия являются безразмерными комплексами, составленными из разнородных физических величин, характеризующих данное явление. При этом нулевая размерность является характерным свойством числа подобия и может служить проверкой правильности его составления. Числа подобия принято называть именами ученых, работающих в соответствующей области науки, и обозначать двумя начальными буквами их фамилий. Получают числа подобия из аналитических зависимостей, описывающих данный процесс. Таким образом, математические описания процесса, хотя бы в виде неинтегрируемых дифференциальных уравнений общего вида, является необходимой предпосылкой использования теории подобия. Это положение лежит в основе практического применения теории подобия.
Записанное уравнением (е) число называют числом Нуссельта и обозначают NU. Равенство (е) можно представить в виде:
Для характеристики подобия явлений можно применять константы подобия и числа подобия. Но при этом нужно помнить, что константе подобия сохраняют числовое значение только для двух подобных явлений, оставаясь одинаковыми для всех сходственных точек рассматриваемых систем. Числа подобия сохраняют свое числовое значение в сходственных точках всех подобных между собой систем, но в различных точках одной и той же системы они могут иметь разные числовые значения.
Основные положения теории подобия обычно формулируются в виде теорем подобия.
Первая теорема подобия.
В подобных явлениях одноименные числа подобия в сходственных точках и в сходственные моменты временя имеют одинаковые числовые значения.
Вторая теорема подобия.
Зависимость между переменными величинами, характеризующими какое-либо явление, может быть представлена в виде зависимости между числами подобия.
Эта зависимость между числами подобия называется уравнением подобия (или критериальным уравнением).
Вторую теорему подобия можно сформулировать так:
если физическое явление описывается дифференциальным уравнением (или системой уравнений), то всегда существует возможность представить его (их) в виде уравнения подобия.
Третья теорема подобия отвечает на вопрос, какие условия достаточны, чтобы явления были подобны.
Подобны те явления условия однозначности которых подобны, и числа подобия, составленные из условий однозначности в сходственных точках и сходственные моменты времени численно одинаковы.
Дата добавления: 2016-01-18; просмотров: 2964;