Статистическое распределение выборки

Разработка методов регистрации, описания и анализа статистических экспе­риментальных данных, полученных в результате наблюдения массовых случайных явлений, составляет предмет математической статистики.

Эти методы позволяют получать обоснованные выводы о параметрах или виде распределения случайных величин по совокупности наблюдений над ними – выборке.

Пусть проводится экспе­римент со случайной величиной , имеющей функцию распределения .

Определение. Выборкой объема из генеральной совокупности с функ­цией распределения называется последовательность наблюдае­мых значений случайной величины , соответствующих независи­мым повторениям эксперимента.

Замечание. Выборку объема можно определить как совокупность слу­чайно отобранных объектов из некоторого множества объектов – генераль­ной совокупности.

Пусть в результате эксперимента получены значения изучаемой случай­ной величины (среди них могут быть повторяющиеся значения).

Определение. Вариационным рядом выборки называется способ ее записи, при котором элементы выборки упорядочиваются по величине, то есть записы­ваются в виде последовательности , где .

Пусть в выборке объема число встречается раз .

Определение. Числа называют вариантами. Число называют частотой варианты . Число называют относительной частотой варианты .

Определение. Размахом выборки называется разность между максимальной и минимальной вариантой выборки .

Определение. Статистическим распределением выборки (статистическим рядом) называется последовательность пар или .

Обычно статистический ряд записывается в виде таблицы, первая строка которой содержит упорядоченные по величине варианты , а вторая – их частоты (или относительные частоты).

Пример. Записать вариационный ряд и статистическое распределение выборки 4,3,3,1,2,2,5,4,4,3,5,5,6,6,4. Определить размах выборки.

Решение. Объем выборки . Упорядочив варианты по величине, получим вариационный ряд 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,6,6. Размах выборки .

 

Статистическое распределение выборки

 

для контроля правильности записи находим: ;

или

 

1/15 2/15 3/15 4/15 1/15 2/15

 

для контроля записи находим: .

При большом объеме выборки ее элементы (варианты) объединяют в группы, представляя результаты опыта в виде группированного статистического ряда. Для этого интервал, содержащий все варианты выборки, разбивается на частичных непересекающихся интервалов. Для упрощения вычислений частичные интервалы выбирают одинаковой длины . После того, как частичные интервалы выбраны, определяют частоты – количество вариант, попавших в -й интервал (варианта, совпадающая с верхней границей интервала, относится к последующему интервалу). Получающийся статистический ряд в верхней строке содержит середины интервалов группировки, а в нижней – частоты .

В зависимости от объема выборки число интервалов группировки берется от 6 до 20. Следует помнить, что группировка вносит погрешность в дальнейшие вычисления, которая растет с уменьшением числа интервалов.

Для наглядности представления полученных статистических экспериментальных данных весьма целесообразно наряду со статистическим распределением выборки давать графическое представление.

Определение. Полигоном частот (относительных частот) группированной выборки называется ломаная с вершинами в точках (в точках ).

Определение. Гистограммой частот (относительных частот) группированной выборки называется ступенчатая фигура, составленная из прямоугольников, построенных на частичных интервалах группировки, высоты которых равны .

Отсюда следует, что площадь гистограммы равна объему выборки, а площадь гистограммы относительных частот - единице.

Пример. Представить выборку 55 наблюдений в виде группированного статистического ряда, используя 7 интервалов группировки. Построить полигон и гистограмму частот группированной выборки.

Выборка

Решение. Размах выборки , количество интервалов – 7. Длина интервала .

Сформируем группированное статистическое распределение выборки

 

Номер интервала i
Границы интервала 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22 22-24
Середина интервала
Частота
Относительная частота 0,0364 0,0727 0,1455 0,2182 0,2909 0,1818 0,0545

 

Полигон группированных относительных частот изображен на Рис. 7.

 

  0.3 - .     0.2 - .
       
   


0.1 -

 

 

11 15 19 23

Рис. 7.

 

Гистограмма группированных частот представлена на Рис. 8.

 

8 -   6 -   4 -     2 -
       
   

 


12 16 20 24

Рис. 8.








Дата добавления: 2016-01-09; просмотров: 3584;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.01 сек.