Точечные оценки параметров распределения

Зная эмпирическую функцию распределения, мы можем оценить характер теоретической функции распределения генеральной совокупности. Однако как в теории, так и на практике бывает важно оценить отдельные свойства случайной величины на основе экспериментальных данных.

Распределение случайной величины Х характеризуется целым рядом параметров или числовых характеристик, например: математическое ожидание, дисперсия, мода и так далее. Используя выборку исследуемой случайной величины, можно вычислить приближенные значения каждого из неизвестных параметров, называемые в статистике точечными оценками параметров (т.е. оценивание параметра осуществляется одним числом, точкой на числовой оси).

Точечные оценки параметров распределения являются значениями некоторых функций элементов выборки, которые называются статистиками. Например, для оценки математического ожидания случайной величины Х используют статистику , которая называется выборочное среднее.

Оценку параметра будем обозначать символом с тильдой: .

Очевидно, что значения статистик изменяются от выборки к выборке случайным образом, т.е. статистики являются случайными величинами. Для оценки данного параметра можно использовать несколько разных статистик, получая при этом различные значения оценок. Очевидно, что для наилучшей оценки следует взять такую статистику, значения которой для различных выборок из данной генеральной совокупности были бы «в среднем» близки к истинному значению параметра, который оценивается.

Качество оценок характеризуют следующими свойствами.

· Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру: .

· Оценка называется состоятельной, если при увеличении объема выборки оценка сходится по вероятности к . Это означает, что для любых и существует такое, что при выполняется неравенство: (вероятность того, что оценка отличается от истинного значения не больше, чем на , близка к единице).