Контрольная работа № 8. Задания

1. Решить задачу (таблица 6).

2. Решить задачу с использованием формулы Бернулли (таблица 7).

3. По заданной плотности распределения найти требуемые величины (табл. 8).

4. По сгруппированным данным построить гистограмму относительных частот

(таблица 9).

5.Проверить нулевую гипотезу о том, что заданное значение является математическим ожиданием нормально распределенной случайной величины при 5% уровне значимости для двусторонней критической области, если в результате обработки выборки объема получено выборочное среднее , а несмещенное квадратичное отклонение равно (таблица 10).

6. Найти выборочное уравнение линейной регрессии на на основании корреляционной таблицы (таблица 11).

6.1. Пример выполнения контрольной работы № 2. Вариант № 0.

Решение. Эксперимент состоит в извлечении двух шаров из пятнадцати. Выбор осуществляется без возвращения, порядок извлеченных шаров не играет роли. Элементарным исходом является пара объектов вида: номер шара и его цвет, например: (первый белый, третий черный). Количество таких исходов . Рассмотрим среди них исходы, благоприятствующие событию А={извлекли два разноцветных шара}. Количество способов выбрать один белый шар из 5 равно , количество способов выбрать один черный шар из 10 равно . Таким образом, количество благоприятствующих исходов . Воспользуемся формулой классической вероятности: , а . Следовательно, .

Ответ. .

2.Вероятность того, что расход электроэнергии в течение одних суток не превысит установленной нормы, равна . Найти вероятность того, что в ближайшую неделю расход электроэнергии не превысит нормы в течении 4 суток.

Решение. Эксперимент состоит в том, что в течение 7 дней наблюдают за расходом электроэнергии. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжении каждых суток в неделю постоянна и равна . Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна . Искомое событие: А={ровно 4 раза в течении 7 дней расход электроэнергии будет нормальным}.

Используя формулу Бернулли, получаем:

. Ответ. .

3. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины - параметр распределения.

Найти нормировочную константу С, функцию распределения F(x), математическое ожидание M[X], дисперсию D[X].

Решение.

А) Константу С находим из свойства нормировки плотности распределения:

В данном случае, т.к. плотность содержит переменную под знаком модуля, то интеграл разбивается на два интеграла:

.

Отсюда .

Б) Плотность распределения и функция распределения связаны соотношением: .

Запишем плотность распределения следующим образом: . Функцию распределения будем искать, используя эти промежутки.

При

При .

Таким образом, функция распределения имеет вид:

.

В) Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно:

. В рассматриваемом случае:

(при вычислении интегралов использовалась формула интегрирования по частям).

Дисперсию случайной величины вычислим по формуле: Так как математическое ожидание равно 0, то дисперсия будет равна

Ответ: Для непрерывной случайной величины Х: нормировочная константа равна , функция распределения , математическое ожидание , дисперсия .

4.Задан интервальный вариационный ряд. Рассчитать и построить гистограмму относительных частот по сгруппированным данным, здесь - частота попадания вариант в промежуток ( ).

№		mi
	2 - 4	5
	4 - 6	8
	6 - 8	16
	8 - 10	12
	10 - 12	9

Решение.

Для построения гистограммы надо рассчитать относительные частоты. Объем выборки: n=5+8+16+12+9=50. Длина интервалов: h=2. Относительные частоты определяются по формуле: . Их значения равны для соответствующих интервалов: 0.1; 0.16; 0.32; 0.24; 0.18. Интервальный вариационный ряд графически изображают с помощью гистограммы. Для ее построения на оси х откладывают отрезки частичных интервалов варьирования, на них строят прямоугольники высотой, равной относительной частоте. Для заданного примера гистограмма приведена на Рис. 12 .

Рис.12

5. Из нормальной генеральнойсовокупности с параметрами с известным средним квадратическим отклонением извлечена выборка объема и по ней найдена выборочная средняя . Требуется при уровне значимости по сгруппированным данным проверить нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе .

Решение. Данная задача относится к задачам проверки статистических гипотез, а именно, производитсясравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней для нормальной совокупности, если дисперсия генеральной совокупности известна.

Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральной средней нормальной совокупности с известной дисперсией гипотетическому (предполагаемому) значению , при конкурирующей гипотезе , надо:

- вычислить наблюдаемое значение критерия ,

- по таблице значений функции Лапласа найти критическую точку двусторонней критической области из равенства .

Если - нулевую гипотезу принимают, если - нулевую гипотезу отвергают. Найдем наблюдаемое значение критерия:

; .

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид , поэтому критическая область – двусторонняя.

Найдем критическую точку из равенства . По таблице функции Лапласа находим . Так как - нулевую гипотезу отвергаем, т.е выборочная и гипотетическая средние различаются значимо.

Ответ. Гипотеза о том, что параметр нормальной генеральной совокупности равен 26, отвергается, т.к. не соответствует выборочным данным.

5.Найти выборочное уравнение линейной регрессии на по данным корреляционной таблицы.

			-		-	-
		-		-	-
	-		-
	-	-

Решение. В том случае, когда варианты парной выборки встречаются по нескольку раз, причем с одним значением варианты может встретиться несколько вариант , их обычно представляют в виде корреляционной таблицы. На пересечении строк и столбцов этой таблицы отмечают частоту выбора соответствующей пары ( ). Частоты вариант находят как суммы по строкам и столбцам: . Очевидно, что - объем выборки.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии на имеет вид ,

где - выборочные средние для случайных величин и ; - выборочные средние квадратические отклонения; - выборочный коэффициент корреляции, причем , .

Выборочное уравнение прямой линии регрессии на имеет вид .

Если данные наблюдений над признаками и заданы в виде корреляционной таблицы с равноотстоящими вариантами, то целесообразно перейти к условным вариантам: , , где - «ложный нуль» вариант ( новое начало отсчета); в качестве ложного нуля выгодно принять варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда (условимся принимать в качестве ложного нуля варианту, имеющую наибольшую частоту); - шаг, т.е. разность между двумя соседними вариантами ; - ложный путь вариант ; - шаг вариант .

В этом случае выборочный коэффициент корреляции , .

Величины могут быть найдены по формулам: .

По этим значениям можно определить входящие в уравнения регрессии величины по формулам: .

В заданной корелляционной таблице выберем в качестве ложных нулей . Шаг варианты , шаг варианты . Для упрощения расчетов введем условные варианты и составим преобразованную корреляционную таблицу с условными вариантами, в которую внесем значения :

	-3	-2	-1
-1			-		-	-
		-		-	-
	-		-
	-	-

Затем составим новую таблицу, в которую внесем найденные значения в правый верхний угол заполненной клетки и в левый нижний угол, по центру остается частота. После этого суммируем верхние значения по строкам для получения значений и нижние значения по столбцам для и подсчитаем величины :

	-3	-2	-1
-1	-6 -2	-2 -1	-	-7	-	-	-8
	-12	-	-2	-	-		-8
	-	-10	-				-1	-1
	-	-	-3
	-2						-
		-8	-6					-

Проверяем суммы , получаем .

Находим (умножаем значение варианты на сумму ее частот и находим среднее арифметическое этих величин):

Находим :

Определяем :

Вычисляем выборочный коэффициент корреляции :

Осуществим переход к исходным вариантам:

Находим уравнение линии регрессии на : или . Аналогично, уравнение линии регрессии на :

или .

Ответ. Линии регрессии имеют вид: и .