Метод максимального правдоподобия

Для нахождения точечных оценок параметров распределения можно использовать метод максимального правдоподобия. Этот метод основан на следующем интуитивном представлении: в большинстве случаев в эксперименте наблюдается именно то значение случайной величины Х, при котором плотность вероятности близка к максимальному значению.

Согласно методу максимального правдоподобия для нахождения оценки параметра на основании выборки :

1) составляют функцию правдоподобия:

,

(это функция аргумента и элементов выборки, - плотность распределения случайной величины Х, содержащая неизвестный параметр, - значение плотности при );

2) находят то значение , при котором функция правдоподобия принимает максимальное значение: . Для этого находят точку максимума функции :

.

Иногда для упрощения вычислений удобно рассматривать логарифм функции правдоподобия.

3) в качестве точечной оценки параметра принимают найденное значение .

Определение.Оценку называют оценкой наибольшего (максимального) правдоподобия.

Оценки параметров, полученные по методу максимального правдоподобия, асимптотически нормально распределены и для некоторых законов распределения генеральной совокупности имеют минимальную дисперсию.

Пример. Найти оценку параметра показательного распределения , если в результате испытаний величины Х, распределенной по показательному закону, получены значения .

Решение. Составим функцию правдоподобия:

.

Для упрощения вычислений найдем: , и его точку максимума:

, , (здесь - выброчное среднее).

Так как , то функция правдоподобия принимает максимальное значение при , значит - искомая оценка параметра .