Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Если функция четная (т.е. ), то все её коэффициенты , и ряд Фурье имеет вид

где , .

Если функция нечетная (т.е. ), то все коэффициенты , и её ряд Фурье имеет вид

где .

Определение. Эти ряды называются неполными тригонометрическими рядами, или рядами по косинусам и по синусам соответственно.

Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода 2l

Пусть функция определена на отрезке и удовлетворяет на этом отрезке условиям теоремы Дирихле. Введем новую переменную по формуле и рассмотрим функцию . Функция определена на отрезке и удовлетворяет теореме Дирихле. Ее ряд Фурье имеет вид:

где .

Вернемся к старой переменной .

Определение. Ряд

с коэффициентами, вычисляемыми по формулам

, ,

называется рядом Фурье для функции с периодом .

Замечание.Если на отрезке четная, то ее ряд Фурье имеет вид: , где , ;

Если - нечетная функция, то ,

где , .

Пример.Разложить в ряд Фурье - периодическую функцию, заданную на промежутке следующим образом: .

Решение.Построим график функции (Рис. 2).

Рис. 2

Данная функция имеет конечное число разрывов первого рода на промежутке . По теореме Дирихле ее можно разложить в ряд Фурье .

Вычислим коэффициенты Фурье:

; .

Ко второму интегралу применим формулу интегрирования по частям:

Тогда = = = .

Коэффициенты с четным индексом обращаются в нуль, а с нечетным, когда : .

Определим коэффициенты :

Проведя вычисления аналогичным образом, получим . Из всех коэффициентов ненулевыми будут коэффициенты с четным индексом : . Поставим найденные коэффициенты в ряд Фурье .

По теореме Дирихле составленный ряд Фурье сходится к функции , которая совпадает с во всех точках ее непрерывности. Поэтому знак можно заменить знаком равенства: ,

В точках разрыва функции сумма ряда .

В точках разрыва , . И так,

Пример.Разложить в ряд Фурье - периодическую функцию, заданную на промежутке следующим образом: .

Рис. 3

Решение.График функции изображен на Рис. 3.

Функция непрерывна на всей оси и может быть разложена в ряд Фурье, сходящийся к ней при всех , т.е. для любого . Так как - четная и , то .

Вычислим коэффициенты:

; = , т.е.

, .

Интеграл Фурье

Пусть функция определена на промежутке , кусочно непрерывна вместе со своей производной в любом конечном промежутке и абсолютно интегрируема.

Определение.Формула ,

называется формулой Фурье, а интеграл в правой части формулы – интегралом Фурье для функции .

Равенство имеет место в точках непрерывности функции ; в точках разрыва данной функции интеграл Фурье равен среднему арифметическому ее односторонних пределов:

= .