УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ УСТАНОВИВШЕГОСЯ НАПОРНОГО ПОТОКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Рис. 7.2. Контрольный объём для вывода уравнения Бернулли |
Уравнение Бернулли для установившегося потока вязкой жидкости является выражением закона изменения кинетической энергии применительно к одномерным задачам гидромеханики. Выделим в трубопроводе (рис. 7.2) сечениями 1-1 и 2-2, в которых движение равномерное или плавноизменяющееся контрольный объем V, ограниченный контрольной поверхностью А, показанной штриховой линией. Запишем для выделенного объема V закон изменения кинетической энергии:
. (7.2.1)
Преобразуем слагаемые, входящие в это уравнение, представляя объемные интегралы в виде поверхностных и используя условия на контрольной поверхности А, которую запишем в виде суммы А = w1 + w2 +Абок.
1. В субстанциальной производной
(7.2.2)
первое слагаемое равно нулю, так как движение жидкости установившееся, и жидкость несжимаема (r= const), а второе слагаемое представляет собой поток кинетической энергии Qk через контрольную поверхность А. Условия на контрольной поверхности А имеют вид (рис. 7.2)
(7.2.3)
Преобразуем второе слагаемое в (7.2.2), используя (7.2.3), (5.11) и (5.27):
(7.2.4)
2. Обратимся в уравнении (7.2.1) к слагаемому, выражающему мощность внешней массовой силы. Предположим, что внешняя массовая сила имеет потенциал, т.е. существует такая скалярная функция U, для которой f = gradU. Используя теорему Остроградского - Гаусса и граничные условия (7.2.3), получаем
(7.2.5)
Полученное равенство позволяет выразить мощность внешней массовой силы через поток потенциальной энергии, обусловленной этой силой, сквозь живые сечения.
3. Рассмотрим интеграл, выражающий мощность внешней поверхностной силы:
.(7.2.6)
Рис.7.3. Напряжение и скорость жидкости в поперечном сечении w1 |
В сечении 1 - 1 скорость имеет только нормальную составляющую un , так как движение здесь равномерное или плавноизменяющееся. Чтобы вычислить скалярное произведение u • рn, зададим в произвольной точке живого сечения w1 систему ортогональных координат (рис. 7.3), определяемую тремя единичными векторами (n, b, t), из которых n - нормален к живому сечению, a b и t лежат в его плоскости. Проектируя на эти координатные оси векторы u и рn, находим
u = (un, ub,ut) = (un, 0, 0); рn = (pnn, pnb, рпt),
при этом все три проекции напряжения рn могут быть отличны от нуля. По определению скалярного произведения
. (7.2.7)
Аналогичные вычисления выполним для живого сечения w2. На поверхности Абок выполняется условие прилипания. Согласно полученным результатам, а также используя (7.1.2), на контрольной поверхности А имеем условия:
(7.2.8)
Подставляя (7.2.8) в (7.2.7) и в (7.2.6), получаем
. (7.2.9)
Согласно равенству (7.2.9) мощность внешней поверхностной силы можно интерпретировать как поток, обусловленный этой силой потенциальной энергии сквозь живое сечение; в соответствии с (3.13) плотность распределения этой энергии равна давлению р.
Сложим равенства (7.2.5) и (7.2.6) и найдем выражение для мощности внешних сил, которое в соответствии с вышеизложенным будем интерпретировать как поток потенциальной энергии Qp, обусловленный внешними массовой и поверхностной силами через контрольную поверхность:
.
Примем во внимание, что в сечениях 1 - 1 и 2 - 2 движение равномерное или плавноизменяющееся, и, следовательно, согласно (7.1.3) давление в этих сечениях распределено по гидростатическому закону: rU - р = const.
В соответствии с этим выражение в скобках в интегралах по живым сечениям можно вынести за знак интеграла. Кроме того, положим, что сила тяжести является единственной внешней массовой силой, т.е., что U = - g z. В результате получим
. (7.2.10)
4. Последнее слагаемое в (7.2.1), выражающее мощность внутренних сил в пределах контрольного объема, оставляем без преобразования.
Подставив (7.2.4) и (7.2.10) в исходное уравнение (7.2.1) и разделив все слагаемые на весовой расход QB = rgQ, получим искомое уравнение Бернулли:
, (7.2.11)
где g = rgQ удельный вес, а слагаемое
(7.2.12)
выражает отнесенную к весовому расходу мощность внутренних сил (диссипацию механической энергии в единицу времени) в пределах контрольного объема.
Для сжимаемой жидкости (газа) можно выполнить аналогичный вывод и получить уравнение Бернулли в виде
, (7.2.13)
где r1 и r2 - плотности жидкости (газа) в сечениях 1 - 1 и 2 - 2.
Дата добавления: 2016-01-09; просмотров: 953;