ЗАКОН ИЗМЕНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Изменение кинетической энергии жидкого объёма за единицу времени равно мощности всех внешних и внутренних (поверхностных и массовых) сил, действующих на этот объём жидкости. Кинетическая энергия бесконечно малого объёма dV жидкости равна , тогда кинетическая энергия конечного объёма V будет равна

. (6.5.1)

Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы и скорости тела, на которое она действует. Например, на элементарный объём dV действует внешняя массовая сила с плотностью распределения f, величина этой силы равна frdV. Работа этой силы на перемещении равна

.

Мощность силы найдём как отношение совершаемой ею работы ко времени dt, за которое произойдёт перемещение объёма dV на расстояние . При этом скорость жидкого объёма dV равна . Следовательно, мощность внешней объёмной силы для элементарного объёма dV равна . Мощность этой силы при перемещении всего объёма V

. (6.5.2)

Рассуждая аналогично, найдём мощность внешних поверхностных сил, действующих на поверхность А, ограничивающую объём V:

, (6.5.3)

где u - скорость жидкости на поверхности А в точке, где выделен элемент dА.

Рассчитать работу внешних сил, как правило, не представляется возможным, так как она зависит от поля скорости внутри контрольного объёма, которое неизвестно. Поэтому введём функцию - плотность распределения мощности внутренних сил, т.е. работы, которая за единицу времени переходит в тепло и рассеивается (диссипирует) внутри объёма жидкости, имеющего единичную массу. Работа внутренних сил может только уменьшать кинетическую энергию, так как, переходя в энергию беспорядочного теплового движения молекул, соответствующая часть кинетической энергии объёма V уже не участвует в дальнейшем балансе механической энергии. Обычно мощность внутренних сил называют диссипированной, а функцию e диссипативной. Уменьшение кинетической энергии объёма V за счёт работы внутренних сил представим в виде

. (6.5.4)

Знак минус вводится, чтобы функция e (х,у,z,t) была всегда положительной.

Приравнивая субстанциональную производную от кинетической энергии (6.5.1) сумме мощностей (6.5.2),(6.5.3) и (6.5.4), получаем уравнение, выражающее закон изменения кинетической энергии:

. (6.5.5)

Если уравнение (6.5.5) используют для решения одномерных задач, то его представляют в виде различных модификаций уравнения Бернулли. Закон изменения кинетической энергии в виде дифференциального уравнения не используется, так как оно эквивалентно дифференциальному уравнению, выражающему закон изменения количества движения.

6.6. ОБЩИЙ ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОГО ОБЪЁМА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

В дополнение к закону изменения кинетической энергии, выражающему баланс механической энергии, рассмотрим более общий случай, принимая во внимание изменение механической энергии за счёт её источников (стоков), содержащихся внутри контрольного объёма, и баланс внутренней энергии (тепла).

Рис.6.3. Контрольный объём для формулировки закона сохранения энергии

Пусть в контрольном объёме V, который выделен на рис. 6.3. контрольной поверхностью А, указанной штриховой линией установлена турбина, которую вращает набегающий поток, отдавая ей мощность N_i (поток совершает работу N_i в единицу времени). Индекс i означает, что устройств, изменяющих механическую энергию потока, может быть несколько. Если вместо турбины установить насос, то соответствующая мощность насоса увеличит механическую энергию потока, так что знак N_i зависит от функции устройства внутри контрольного объёма. Запишем при этом уравнение, выражающее баланс механической энергии:

. (6.6.1)

Рассмотрим баланс тепла в контрольном объёме. Пусть Е - количество внутренней энергии жидкости (теплоты) внутри контрольного объёма, а е(r,t) - плотность её распределения в пространстве, т.е. удельная внутренняя энергия жидкости (на единицу массы). Тогда

. (6.6.2)

Чем могут быть вызваны изменения внутренней энергии жидкости внутри контрольного объёма? Возможны следующие причины:

наличие внутри объёма источников тепла, подводимого извне, с плотностью распределения t (r,t) (на единицу объёма в единицу времени);

присутствие на граничных поверхностях источников тепла с плотностью распределения s(r,t) (на единицу площади в единицу времени);

работа внутренних сил в жидкости, например, за счёт вязкости; плотность распределения мощности внутренних сил e(r,t).

Баланс тепла для жидкости, содержащейся в контрольном объёме в момент времени t, имеет вид

. (6.6.3)

Складывая (6.6.1) и (6.6.3), получаем уравнение, выражающее общий закон сохранения энергии для контрольного объёма сплошной среды (6.6.4):

.

Как следует из (6.6.4), работа внутренних сил не изменяет полную энергию системы жидких частиц: она уменьшает механическую энергию и увеличивает тепловую.