УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
Основным динамическим уравнением движения материальной точки является 2-й закон Ньютона m`a = `F, а широко используемым следствием этого закона являются следующие общие теоремы движения системы материальных точек:
· производная по времени от количества движения
равна сумме всех действующих на систему внешних сил
(6.7.1)
и называется уравнением количества движения, или уравнением импульсов:
· производная по времени от кинетического момента
системы относительно какого-либо неподвижного центра О равна сумме моментов
всех внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра, т.е.
, (6.7.2)
называется уравнением моментов количества движения;
· дифференциал кинетической энергии
системы равен сумме элементарных работ
всех действующих на систему внешних и внутренних сил, т.е.
(6.7.3)
называется уравнением механической энергии (теоремой живых cил).
· Для любого мысленно выделяемого индивидуального объёма сплошной среды V, ограниченного поверхностью S , уравнения (1.68) - (1.70) действительны, если динамические величины определить следующим образом:
(соответственно количество движения, момент количества движения и кинетическая энергия сплошной среды в объёме V);
(соответственно сумма внешних объёмных и поверхностных сил и их моментов относительно некоторого неподвижного центра О, действующих на среду в объёме V). Силы и их моменты непрерывно определены и сосредоточены.
Сумма элементарных работ внешних и внутренних объёмных и поверхностных сил
.
В этом случае уравнения (6.7.1) и (6.7.2) являются основными постулируемыми динамическими соотношениями механики сплошной среды. Они служат исходными уравнениями для описания любых движений сплошной среды, в том числе разрывных движений и ударных процессов.
Уравнение (6.7.3) одно из наиболее важных следствий уравнений (6.7.1) и (6.7.2) при непрерывных движениях в пространстве и времени.
При непрерывных движениях интегральная теорема движения (6.7.1) эквивалентна следующим 3 дифференциальным уравнениям:
· в декартовой системе координат:
· в цилиндрической системе координат при осевой симметрии
(6.7.4)
где проекции ускорения вычисляют по формулам (1.6).
Эти уравнения, связывающие компоненты vi вектора скорости и тензора напряжений , являются основной системой дифференциальных уравнений движения для любой сплошной среды, представляющих собой уравнение баланса количества движения (импульса) для бесконечно малого объёма среды. Если движения частиц происходят без ускорения (аi = 0) или они пренебрежимо малы, то уравнения (6.7.4) называются дифференциальными уравнениями равновесия.
При непрерывном движении сплошной среды теорема моментов количества движения (6.7.2) в дифференциальной форме сводится к выводу о том, что тензор напряжений симметричен, т.е. sij = sji . Если тензор напряжений симметричен, то уравнения моментов количества движения удовлетворяются тождественно.
Интегральная теорема живых сил (6.7.3) эквивалентна следующему дифференциальному уравнению:
dK = dW = dA(e) , (6.7.5)
где
соответственно изменение кинетической и потенциальной энергии бесконечно малого объёма сплошной среды, элементарная работа внешних объёмных и поверхностных сил, действующих на бесконечно малый элемент объёма среды.
Уравнение (6.7.5) является следствием уравнения движения(6.7.4) и представляет собой уравнение баланса механической энергии.
В общем случае оно не является законом сохранения энергии, но его можно так трактовать тогда, когда механическая энергия тела не переходит в тепловую или другие виды энергии. Общий закон сохранения энергии в этом случае распадается на два:
· закон сохранения механической энергии;
· закон сохранения энергии другого вида.
Дата добавления: 2016-01-09; просмотров: 1210;