Решение задачи традиционными методами. Состояние системы массового обслуживания будем связывать с числом требований, находящихся в системе:

Состояние системы массового обслуживания будем связывать с числом требований, находящихся в системе:

• в системе нет ни одного требования – вероятность состояния Р₀; ' \

• в системе находится одно требование – вероятность состояния Р.; ^!_ч

• в системе находится п требований – вероятность состояния Р_п. )

Представим все возможные состояния СМО в виде размеченного графа состояний (рис. 5.1.1). Каждый прямоугольник графа, количественно оцениваемый вероятностью состояний Р_п, определяет одно из всех возможных состояний. Стрелки указывают, в какое состояние система может перейти и с какой интенсивностью.

Рис. 5.1.1. Размеченный граф состояний одноканальной замкнутой СМО

Первый прямоугольник с вероятностью Р₀ определяет состояние системы массового обслуживания, при котором канал обслуживания простаивает из-за отсутствия требований в ней. Из этого положения система массового обслуживания может перейти с интенсивностью mλ только в состояние Р1; тогда в системе появится одно требование, так как входной поток – ординарный. С интенсивностью μ система может перейти также из состояния Р1 в состояние Р₀; когда в системе находилось одно требование, но оно было обслужено раньше, чем появилось новое. Из состояния Р1 система массового обслуживания может перейти с интенсивностью (m–1)λ в состояние Р₂; тогда в системе появятся два требования. С интенсивностью μ система может перейти также из состояния Р₂ в состояние Р1; когда в системе находилось два требования, но одно из них было обслужено раньше, чем появилось новое, и т.д.

Рассмотрим установившийся режим работы системы массового обслуживания, когда основные вероятностные характеристики ее постоянны во времени, например в течение часа. В этом случае интенсивности входных и выходных потоков для каждого состояния будут сбалансированы:

P₀ mλ=P₁ μ

P₁ (μ+(m–1)λ)=P₀m λ+ P₂μ

P₂ (μ+(m–2)λ)=P₁(m–1)λ +P₃ μ

……………………

P_n (μ+(m–n) λ)=P_n–1(m–(n–1)) λ +P_n+1 μ

……………………

P_m μ=P_m–1λ

Обозначим величину λ /m через ψ и назовем ее коэффициентом загрузки. Из первого уравнения можно найти значение Р₁:

P₁ =P_mλ/μ=P₀mψ

Из второго уравнения найдем значение Р₂:

P₂=P₁+P₁(m–1)λ/μ –P₀m λ/μ

Но первый член – Р₁=Р₀mλ/μ, следовательно, первый и третий сокращаются:

Р₂=Р₁(m–1)λ/μ=Р_оm(m–1)ψ².

Из третьего уравнения найдем значение Р₃:

Р₃=Р₂+Р₂(m–2)λ/μ–Р₁(m–1)λ/μ

Но первый член Р₂=Р₁(m–1)λ/μ, следовательно, первый и третий сокращаются:

Р₃=Р₂(m–2)λ/μ=Р₀ m(m–1)(m–2)ψ³ и т.д.;

Р_n=Р_n–1(m–(n–1))λ/μ=P₀m(m–1)...(m–(n–1))ψⁿ=P₀ψⁿ(m!/(m–n)!

Используя очевидное равенство ΣР_п=1, получим: 1=P_QΣψⁿ m!/(m–n)! от n=0 до m.

Зная вероятность простоя канала обслуживания Р₀, можно определить его фактическую производительность:

P_f=(l–P₀) μ G,

где G, например, количество груза, помещенного за одно обслуживание в машину.

Для установившегося режима работы системы средняя интенсивность поступления требований во входном потоке равна аналогичной характеристике выхода требований из канала обслуживания:

(m–N_сист)λ=(l–P₀)μ,

где n_сист – среднее число обслуживаемых требований, находящихся в системе. Из данного равенства можно легко найти среднее число требований (покупателей, рабочих, заданий, машин, неполадок), находящихся в системе n_ciict:

N_сист=m–(l–P₀)/ψ.

Среднее же число требований (машин), находящихся в очереди, будет вычислено так:

n_oч– – n_chct–(1–Р₀)=m–(1–P₀)(1/ψ+1).

Пусть задан комплект машин «экскаватор-автосамосвалы». Экскаватор погружает за один рабочий цикл g_a=1т грунта. Грузоподъемность автосамосвала g_a=7т. Число машин, обслуживающих экскаватор, m=5. Время рабочего цикла экскаватора составляет t_рц=18с, а время обращения автосамосвала t_обр=10 мин. Тогда время погрузки одного грузовика составит:

t_пог=

Интенсивность погрузки автосамосвала экскаватором составит 29 погрузок в час. Интенсивность же поступления автосамосвала на погрузку составит 6 обращении в час.

t–воз 1"

Коэффициент ψ=λ/μ будет равен ψ=0,207. Вероятность простоя экскаватора в этом случае составит:

Таким образом, фактическая производительность данного комплекта машин будет на 27,1% ниже технической.

Вероятности наличия n машин в системе:

Р₁=Р₀m ψ=0,281

Р₂=Р₁(m–1)ψ=0,233

Р₃=Р₂(m–2)ψ=0,144

Р₄=Р₃(m–3)ψ=0,06

Р₅=Р₄(m–4)ψ=0,012

Фактическая производительность комплекта машин:

P_f–(1–Р„)μG=(1–0,271)X 29 X 7=147,947 т/час.

Среднее число машин, находящихся в системе:

N_сист=m–(l–P₀)/ψ=1,477.

Среднее число машин, находящихся в очереди:

No₄ – N_CИCT–(1–Р₀)=m–(1–Р₀)(1/ψ+1)=0,749.