обслуживания (СМО) в неустановившемся режиме

Рассмотрим неустановившийся режим работы системы массового обслуживания, когда основные вероятностные характеристики ее зависят от некоторого промежутка времени. В этом случае интенсивности входных и выходных потоков для каждого состояния будут сбалансированы, но уже с учетом производных вероятностей. Таким образом, мы будем иметь систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих функционирование одноканальной замкнутой системы при неустановившемся режиме. Для составления системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей функционирование СМО с пуассоновским потоком, существует мнемоническое правило:

• производная dP_n(t)/dt вероятности пребывания системы в состоянии п равна алгебраической сумме нескольких членов;

• число членов этой суммы равно числу стрелок на графе состояний системы, соединяющих состояние n с другими;

• если стрелка направлена в рассматриваемое состояние n, то член берется со знаком «плюс»;

• если стрелка направлена из рассматриваемого состояния n, то член берется со знаком «минус»;

• каждый член суммы равен произведению вероятности того состояния, из которого направлена стрелка, на интенсивность потока событий, переводящего систему по данной стрелке.

В соответствии с размеченным графом состояний (рис. 5.1.1) эта система обыкновенных дифференциальных уравнений будет выглядеть так:

dP₀(t)/dt = P₁(t)μ–P₀(t)mλ

dP₁(t)/dt = P₀(t)mλ + P₂(t)μ – P₁(t)(μ+(m–1)λ)

dP₂(t)/dt = P₁(t)(m–1)λ + P₃(t)μ – P₂(t)(μ+(m – 2) 1)

…………………………….

dP_n(t)/dt = P_n.₁(t)(m–(n–1))λ + P_n+1(t) μ – P_n(t)(μ + (m–n)λ)

…………………………….

dP_m(t)/dt = P_m.₁(t) λ–P_m(t)μ

Как можно заметить, требуется большая вычислительная работа для определения основных параметров функционирования комплекта машин. Можно пойти тремя путями. Первый – предварительный расчет Р₀ для различных значений коэффициента использования ψ (табл. 5.2.1). Второй – применение какого-либо языка высокого уровня для решения этой задачи. Третий – использование системы Mathcad.

Таблица 5.2.1

Рассмотрим неустановившийся режим работы системы массового обслуживания, когда ее основные вероятностные характеристики зависят от времени, например в течение 0,3 часа. В этом случае интенсивности входных и выходных потоков для каждого состояния будут сбалансированы, но уже с учетом производных вероятностей. Таким образом, мы будем иметь систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих функционирование одноканальной замкнутой системы при неустановившемся режиме. Для примера ограничимся рассмотрением той же самой системы, в которой обслуживаются пять требований. Интенсивность поступления одного требования на обслуживание X равна трем поступлениям в час. Интенсивность обслуживания в канале ц составляет 29 требований в час. Эта система обыкновенных дифференциальных уравнений будет выглядеть так:

dP₀(t)/dt = P₁(t)μ– P₀(t)mλ

dP₁(t)/dt = P₀(t)mλ + P₂(t)μ – P₁(t)(μ+(m–1)λ)

dP₂(t)/dt = P₁(t)(m–1)λ + P₃(t)μ – P₂(t)(μ+(m–2)1)

…………………………….

dP₄(t)/dt = P₃(t)(m–3))λ + P₅(t) μ–P₄(t) (μ+(m–4)λ)

P₅(t)/dt = P₄(t) λ–P₅(t)μ

На рис. 5.2.1 представлены начальные исходные данные и система дифференциальных уравнений, описывающая функционирование одноканальной замкнутой СМО при неустановившемся режиме работы

На рис 5.2.2 система дифференциальных уравнений представлена в доступном для решения виде в системе Mathcad. Здесь изображены правые части системы дифференциальных уравнений в форме вектора-столбца, каждый элемент которого определяет значение правой части соответствующего уравнения на каждом шаге интегрирования (решения), и даны начальные значения искомых параметров тоже в виде вектора-столбца. В нижней части рисунка определены начальное и конечное время интегрирования и число шагов решения системы дифференциальных уравнений.

Рис 5.2.1 Описание функционирования одноканальной замкнутой системы массового обслуживания при неустановившемся режиме

На рис. 5.2.3 приведено решение системы дифференциальных уравнений одноканальной замкнутой СМО с использованием встроенной функции rkfixed(P, to,tl,N,D), реализующей метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом. Для вызова этой функции щелкните по пункту Function (Функция) падающего меню пункта Insert (Вставка) главного меню или нажмите комбинацию клавиш Ctrl+E. Появится диалоговое окно Insert Function (Вставить функцию) В списке Function Category (Категория функции) найдите строку Differential Equation Solving (Решение дифференциального уравнения) и щелкните по ней левой кнопкой мыши. В правом поле Function Name (Имя функции) появится имя функции rkfixed. После этого щелкните по кнопке ОК.

Можно сразу найти функцию rkfixed в правом поле Function Name диалогового окна, после чего щелкнуть по ней мышью, а затем по кнопке ОК, но это займет больше времени. В обоих случаях в нижних полях диалогового окна будет дано правильное написание выбранной функции со всеми аргументами, а также краткое описание ее действий. На рис 5.2.3 приведено графическое решение системы дифференциальных уравнений для первых двух искомых параметров. Иными словами, графически представлено поведение первых двух параметров Р₀ и Р₁ – вероятности отсутствия требований и возможности наличия в системе одного требования соответственно в зависимости от времени протекания процесса.

Рис 5.2.2 Описание функционирования одноканальной замкнутой СМО

при неустановившемся режиме для решения в системе Mathcad

Рис 5.2.3 Результаты функционирования одноканальной замкнутой

СМО при неустановившемся режиме (начало)

На рис. 5.2.4 представлено графическое решение системы дифференциальных уравнений для остальных четырех искомых параметров. Другими словами – поведение искомых параметров Р₂, Р₃, Р₄ и Р₅ – вероятности наличия в системе двух, трех, четырех и пяти требований соответственно в зависимости от времени протекания процесса

Рис. 5.2.4. Результаты функционирования одноканальной замкнутой СМО

при неустановившемся режиме в графическом виде (окончание)

Анализируя графическое решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей функционирование заданной одноканальной замкнутой СМО, можно заметить, что примерно через 0,3 часа система переходит в установившийся режим работы. При этом значения вероятностей состояний установившегося режима работы системы при решении совокупности обыкновенных дифференциальных уравнений практически полностью соответствуют решению системы алгебраических уравнений для установившегося режима работы:

Р₀=0,271

Р₁=Р₀mψ=0,281

Р₂=Р₁ (m–1)ψ=0,233

Р₃=Р₂(m–2)ψ=0,144

Р₄=Р₃ (m – 3)ψ=0,06

Р₅=Р₄(m–4)ψ=0,012

На рис. 5.2.5 представлен фрагмент результатов решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений в численном виде.

Рис 5.2.5 Фрагмент результатов решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений в численном виде для одноканальной замкнутой СМО