Главные оси и главные значения тензора 2-го ранга

Единичный вектор называется главной осью тензораT, если

T ,

т.е. проекция тензора T на вектор коллинеарна . При этом число называется главным значением тензора T.

Из определения главной оси тензора следуют уравнения

, .

или .

В этой системе четыре уравнения и четыре неизвестные: , , и , т.е. система замкнута.

Первые три уравнения системы являются линейными алгебраическими уравнениями.

С учетом тождества эти уравнения можно переписать в виде

, .

Эта система представляет собой однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных , , ее определитель:

.

Тривиальное решение этой системы (нулевой вектор , ) не представляет интереса, так как нулевой вектор не задает никакого направления.

Ненулевое решение этой системы существует, когда

.

Это равенство представляет собой алгебраическое уравнение относительно главного значения и называется характеристическим уравнением.

При каждом значении система уравнений

, ,

имеет бесконечно много решений. Среди них только два единичных (нормированных) вектора: и .

Преобразуем характеристическое уравнение:

Таким образом, характеристическое уравнение имеет вид:

где

,

,

.

Можно показать, что коэффициенты , , не меняются при переходе от одной системы координат к другой. Поэтому они называются инвариантами тензора T.

Докажем, например, что является инвариантом.

, так как .

Так как коэффициенты характеристического уравнения инвариантны, то и само уравнение, и его решения инвариантны. Таким образом, главные значения тензора инвариантны.

Известно, что у кубического уравнения всегда есть хотя бы один вещественный корень. Нас интересует случай, когда все корни вещественные. Ответ на это вопрос дает следующая теорема.

Теорема (о собственных значениях симметричного тензора). Любой симметричный тензор второго ранга имеет три вещественных главных значения.

◄Доказательство. Пусть – вещественный корень характеристического уравнения тензора T. Тогда можем найти соответствующую главную ось .

Перейдем к новой системе координат. В качестве 1-го базисного вектора штрихованной системы координат выберем единичный вектор :

.

Тогда матрица тензора в новой системе координат примет вид

Так как свойство симметричности тензора является инвариантным, то

.

Запишем характеристическое уравнение в новой системе координат:

.

Преобразуем его:

Отсюда следует квадратное уравнение для нахождения главных значений :

,

Вычислим дискриминант этого уравнения:

Так как дискриминант неотрицательный, то корни вещественные. Теорема доказана. ►

Замечание. Пусть , тогда:

, .

Характеристическое уравнение в этом случае имеет вид

Корни уравнения:

Теорема (о диагональности матрицы тензора). Матрица симметричного тензора T является диагональной тогда и только тогда, когда координатный базис составлен из главных осей.

◄ Необходимость.

Пусть матрица тензора T диагональна:

.

Найдем проекции тензора на базисные векторы:

T – главная ось тензора T,

T – главная ось тензора T,

T – главная ось тензора T.

Достаточность.

Пусть координатный базис составлен из главных осей, т.е. , – главные оси тензора. Тогда, по определению главных осей:

T .

Но компоненты T составляют i-й столбец матрицыT, следовательно, матрица T имеет диагональный вид:

. ►

Следствие. Инварианты симметричного тензора T связаны с его главными значениями следующими выражениями:

,

,

.

Теорема (об ортогональности главных осей тензора).Дан симметричный тензор 2-го ранга T .

1. Если и – два неравных между собой собственных значения тензора T, то соответствующие главные оси ортогональны: .

2. Пусть , – главное значение и главная ось тензора T. Если другие главные значения равны между собой и равны , то любой вектор, ортогональный , является главной осью, соответствующей главному значению :

, T .

◄ 1. По условию теоремы

, , .

Умножим уравнения с на с соответствующим значением , а уравнения с на и сложим все полученные уравнения:

Так как

,

то

.

Тогда

.

Отсюда, в силу , получаем .

2. Из замечания к теореме о собственных значениях следует, что в данном случае и в системе координат, в которой первым базисным вектором является первая главная ось , матрица тензора Т имеет вид:

.

Возьмем вектор такой, что . Тогда вектор лежит в плоскости , и его можно разложить по базису:

.

Найдем проекцию:

Т Т Т Т Т

Следовательно, – главная ось. ►

Следствие.

1. Пусть . В этом случае тензор Т имеет вид Т , то есть является шаровым, и любой единичный вектор является главной осью:

Т .

2. . Трем различным собственным значениям соответствуют три взаимно ортогональные главные оси, причем эта тройка векторов единственна (с точностью до знака).

3. Других случаев нет.