Потенциальное и вихревое движения

Поле скорости называется потенциальным, если существует такая функция , что . Функция называется потенциалом скорости.

Движение сплошной среды называется потенциальным, если поле скорости является потенциальным.

Поле скорости называется безвихревым, если . В противном случае, когда , движение называется вихревым. По аналогии с линией тока для вихревого движения вводится понятие вихревой линии. Вихревой линией называется векторная линия вектора вихря . Уравнение вихревой линии имеет вид:

Вихревой поверхностью (трубкой) называется поверхность, состоящая из вихревых линий, проведенных через каждую точку некоторого контура, не являющегося вихревой линией.

Для вихревого движения имеет место формула Стокса: поток вихря поля скорости через поверхность S, ограниченную замкнутым контуром L, равен циркуляции поля вокруг контура L

Из теоремы следует, что для потенциального течения ( )

Условие потенциальности течения доказывается в следующей теореме.

Теорема. Поле скорости является потенциальным тогда и только тогда, когда оно безвихревое.

◄ Необходимость. Дано, что

отсюда следует, что

Достаточность. Дано, что

то есть координаты вектора вихря равны нулю:

, , .

Согласно теореме математического анализа, если функции , и удовлетворяют выписанным выше равенствам, то существует функция такая, что

По определению

следовательно,

, и .

Отсюда следует, что

. ►

Примеры потенциальных движений.

1. Поступательное движение

Легко убедиться, что потенциалом скорости будет функция

2. Одномерное движение

Легко убедиться, что

Построим потенциал . По условию , следовательно, , .

3. Источник (сток)

Чтобы построить потенциал скорости жидкости, сначала нужно получить выражение для скорости. Пусть скорость жидкости зависит от расстояния до центра и от времени . Тогда в сферической системе координат эта задача является одномерной.