Переход от эйлерова описания к лагранжевому и обратно

Эйлерово и лагранжево описание являются равносильными и нужно уметь переходить от одного описания к другому. Рассмотрим этот вопрос на примере.

Пример 1. Дано эйлерово описание движения сплошной среды

Требуется найти его лагранжево описание.

Решение.

Зададим материальные координаты так, что в начальный момент движения они равны геометрическим, т.е. при . Учитывая определение скорости и начальное условие, имеем задачу Коши для системы уравнений

,

.

Решим эту задачу.

Закон движения в лагранжевых переменных найден.

Таким образом, чтобы перейти от эйлерова описанию к лагранжевому, необходимо составить систему и решить ее с учетом начальных условий .

Убедимся, что и – взаимнооднозначные зависимости, т.е. в любой момент времени в любой точке пространства находится только одна материальная частица. Для этого нужно вычислить якобиан и убедиться, что он никогда не обращается в нуль.

для любого момента времени.

Следовательно, зависимость взаимнооднозначная. Известно, что . Отсюда следует, что обратная зависимость также взаимнооднозначная. В этом можно убедиться и непосредственно, вычислив якобиан обратного преобразования

для любого момента времени.

Найдем выражения для скорости и ускорения в лагранжевых переменных. Чтобы выразить скорость, достаточно геометрические координаты заменить на материальные, используя для этого закон движения в лагранжевых переменных. Получим

Найдем ускорение, которое вычисляется как материальная производная скорости. Напомним, что при лагранжевом описании материальная производная совпадает с частной производной по времени.

Пример 2. Дано лагранжево описание движения сплошной среды

Требуется найти его эйлерово описание.

Решение.

Учитывая определение скорости и начальное условие, имеем задачу Коши для системы уравнений:

,

.

Подставим в систему заданное выражение для скорости и проинтегрируем по времени. Получим, проделав несложные выкладки, эйлерово описание:

Найдем ускорение, которое вычисляется как материальная производная скорости :

.

Можно вычислить иначе:

,

.

Третий путь состоит в том, чтобы вычислить ускорение в лагранжевых переменных (см. Пример 1), и потом заменить в его выражении материальные координаты на геометрические, как выше было сделано для скорости.

Окончательно: