Ортогональное преобразование координат

В дальнейшем будем пользоваться правой декартовой прямоугольной системой координат в пространстве. Такую систему можно задать ортонормированным базисом , и .

Преобразование, которое переводит одну правую декартову прямоугольную систему координат в другую правую декартову прямоугольную систему координат с тем же началом, называется ортогональным.

Пусть система получена из системы ортогональным преобразованием – поворотом. Каждый вектор базиса может быть разложен по базису старой системы:

.

Аналогично для .

Таким образом, формулы преобразования имеют вид:

.

Формулы обратного преобразования имеют вид:

.

Составим матрицу ортогонального преобразования:

.

Видно, что -я строка матрицы составлена из координат вектора в системе без штрихов, -й столбец – из координат вектора в системе со штрихом.

Символом Крóнекера называется функция

Свойства матрицы ортогонального преобразования:

1.

Матрица, обладающая свойством 1, называется ортогональной.

2.

3. Транспонированная матрица является ортогональной, кроме того , .

Любой вектор может быть разложен по базису

,

где – компоненты вектора . Получим связь между компонентами вектора в разных системах координат:

Вектор – это математический объект, который задается тройкой чисел, компонентами , и при ортогональном преобразовании, заданном матрицей , компоненты вектора преобразуются по следующему правилу:

.

Это определение равносильно определению вектора как направленного отрезка. Последнее следует из равенства:

.

Можно определить скалярное произведение векторов, модуль вектора и показать, что они инвариантны.

Тензором 2-го ранга T называется математический объект, который задается девятью числами (компонентами) в некоторой системе координат . Причем при преобразовании координат в , новые компоненты тензора связаны со старыми следующим соотношением:

Последнее равенство можно записать в матричной форме:

.

Можно найти обратное преобразование:

.

Тензор является инвариантной величиной, т.е. T´=T, но их компоненты, вообще говоря, не совпадают .

Тензором n-го ранга T называется математический объект, который задается 3ⁿ числами (компонентами) в некоторой системе координат . Причем при ортогональном преобразовании координат в , новые компоненты тензора связаны со старыми следующим соотношением:

.