Эйлеров и лагранжев тензоры деформаций

Рис.1.5.1

Деформация– это изменение взаимного расположения материальных частиц сплошной среды, которое вызывает изменение сил взаимодействия между материальными частицами.

Деформация малой окрестности некоторой точки определяется изменением длины и поворотом любого материального волокна (отрезка), исходящего из этой точки (Рис.1.5.1), то есть простейшими деформациями является относительное удлинение и сдвиг.

Для описания деформационного движения сплошной среды нужно определить изменение длины и поворот любого материального волокна. Пусть – пространственная декартова система координат с базисом и – материальные координаты частицы, равные ее пространственным координатам в начальный момент времени, то есть , – закон движения частицы.

Рис. 1.5.2

Материальным элементом с началом в частице и соответствующим вектору называется совокупность частиц, заполняющих бесконечно малый отрезок и имеющих лагранжевы координаты в пределах от до (Рис. 1.5.2).

В текущий момент времени положение материального элемента определяется положением его начальной точки и вектором

.

Для определения изменения длины составим выражение для квадратов длины материального элемента в начальный и в текущий моменты времени:

,

.

Найдем изменение квадрата длины в лагранжевых переменных. Так как , то

,

.

Составим выражение для изменения квадрата длины материального элемента:

Выражение не зависит от конкретного материального элемента (волокна).

Тензор называется лагранжевым тензором деформаций (тензором деформаций Грина).

Таким образом, изменение квадрата длины материального элемента выражается через лагранжев тензор деформаций:

.

Теперь выразим изменение квадрата длины материального элемента в эйлеровых переменных. В этом случае ,

,

, ,

.

Тензор называется эйлеровым тензором деформаций (тензором деформаций Альманси).

Изменение квадрата длины материального элемента выражается через эйлеров тензор деформаций:

.

Итак,

, ,

.

Легко видеть, что тензоры деформаций являются симметричными тензорами 2-го ранга.

Получим формулы для вычисления тензоров L и E через перемещение материальной частицы (Рис.1.5.3).

Рис.1.5.3

1. Лагранжево описание: , .

Для вычисления лагранжева тензора конечных деформаций необходимы производные . Выразим эти производные через производные перемещения:

.

Подставим их в выражение для тензора:

.

Окончательно получаем:

2. Эйлерово описание: , .

Аналогично, если выразить производные через производные перемещения, эйлеров тензор конечных деформаций примет вид:

.