Тензор малых деформаций

Под малыми деформациями понимается движение сплошной среды, при котором длины материальных волокон и углы между ними мало изменяются, то есть относительное удлинение волокон и относительное скашивание первоначально прямых углов между волокнами много меньше единицы. Кроме того, потребуем малость частных производных компонентов перемещений по сравнению с единицей. В этом случае, в выражениях для компонентов тензоров L и E произведением малых величин можно пренебречь. Таким образом, линеаризованные тензоры деформаций или тензоры малых деформацийимеют вид:

Можно доказать, что тензоры малых деформаций совпадают.

Пример.Пусть движение сплошной среды происходит по закону:

.

Найдем тензор L. Для этого сначала вычислим компоненты вектора перемещений в лагранжевых координатах:

.

Из всех компонентов тензора L ненулевым будет только один – .

.

Найдем тензор E. Сначала вычислим компоненты вектора перемещений в эйлеровых координатах:

.

Тензор E имеет только один ненулевой компонент:

.

В нашем случае

.

Поэтому нетрудно найти в лагранжевых координатах:

Видно, что . То есть лагранжев и эйлеров тензор конечных деформаций не совпадают.

Найдем лагранжев и эйлеров тензоры малых деформаций и покажем, что они совпадают.

Пусть = . Тогда

,

= .

Вычислим . Так как в линейном приближении

,

то

Итак, .

Перейдем к вычислению относительного изменения длины материального элемента при малых деформациях:

.

Отсюда следует, что

.

В силу малости деформаций относительное изменение длины мало, следовательно, в линейном приближении квадратом этой величины можно пренебречь:

.

Далее

.

Отсюда

.

Относительное изменение длины отрезка выразим через лагранжев или эйлеров тензор малых деформаций, получим:

, .

Можно ввести единичный вектор в направлении рассматриваемого отрезка :

.

Тогда формулу для можно переписать в матричном виде:

,

или

.