Пример расчета (задача № 20)

Рис. 10.6

Дана прямоугольная неве­сомая пластина (рис. 10.6), по кромкам которой действуют внешние силы, равномерно распределенные по ее толщи­не, равной единице. Под дей­ствием этих сил в пластине возникает обобщенное напря­женное состояние, описывае­мое функцией напряжений в виде полинома четвертой степени

j = 2 b x³ - 3 x² y² + y⁴.

Требуется:

1. Проверить возможность существования такой функции на­пряжений;

2. По функции напряжений найти выражения компонентов на­пряжений;

3. Выяснить характер распределенных по кромкам пластины внешних сил, под действием которых имеет место данная система напряжений, и построить эпюры напряжений;

4. По полученным эпюрам напряжений, принимая их за эпюры распределенной внешней нагрузки, произвести проверку равнове­сия пластины.

Решение

1. Проверить возможность существования такой функ­ции напряжений. Для выполнения проверки существования за­данной функции напряжений выполним ее дифференцирование:

;

;

.

Подставив четвертые производные в бигармоническое уравне­ние (10.32), видим, что оно удовлетворяется: 0 + 2 (-12) + 24 = 0. Следовательно, напряженное состояние пластины, выраженное за­аной функцией напряжений, возможно.

2. По функции напряжений найти выражения ком­понентов напряжений. Компоненты напряжений, действую­щих по кромкам пластины, равны:

3. Выяснить характер распределенных по кромкам пластины внешних сил, под действием которых имеет место данная система напряжений, и построить эпюры напряжений. Используя функциональные компоненты напряже­ний в пластине, построим соответствующие эпюры напряжений по контуру пластины на каждой ее боковой стороне.

Сторона 0-1-2 (x = 0, 0 £ y £ b). На этой грани действуют напряжения s_xx = 12 y² ; t_xy = 0:

y = 0 (точка 0) s_xx = 0, t_xy = 0,

y = b/2 (точка 1) s_xx = 3 b², t_xy = 0,

y = b (точка 2) s_xx = 12 b², t_xy = 0.

Сторона 2-3 (0 £ x £ 2 b, y = b). На этой грани действуют напряжения s_yy = 12 b x - 6 b² ; t_xy = 12 b x:

x = 0 (точка 2) s_yy = -6 b², t_xy = 0,

x = 2 b (точка 3) s_yy = 18 b², t_xy = 24 b².

Сторона 3-4-5 (x = 2 b, 0 £ y £ b). На этой грани действуют напряжения s_xx = -24 b² + 12 y²; t_xy = 24 b y:

y = 0 (точка 5) s_xx = -24 b², t_xy = 0,

y = b/2 (точка 4) s_xx = -21 b², t_xy = 12 b²,

y = b (точка 3) s_xx = -12 b², t_xy = 24 b².

Сторона 0-5 (0 £ x £ 2 b, y = 0). На этой грани действуют напряжения s_yy = 12 b x ; t_xy = 0:

x = 0 (точка 0) s_yy = 0, t_xy = 0,

x = 2 b (точка 5) s_yy = 24 b², t_xy = 0.

По полученным результатам строим эпюры s_xx , s_yy и t_{xy ,} ко­торые приведены на рис. 10.7.

Рис. 10.7

4. По полученным эпюрам напряжений, принимая их за эпюры распределенной внешней нагрузки, произвести про­верку равновесия пластины. Выполним проверку равновесия пластины. Для этой цели найдем равнодействующие внешних сил, действующих по кромкам пластины (рис. 10.8):

Подсчет значений равнодействующих сил (рис. 10.8):

Далее определяются статические моменты площадей эпюры нормальных напряжений, действующих по кромкам пластины, от­носительно координатных осей x и y, с целью вычисления коорди­нат точек приложения равнодействующих сил от нормальных на­пряжений:

Расстояния от точек действия результирующих нормальных сил до соответствующих координатных осей принимают следующие значения (рис. 10.8):

Рис. 10.8

В заключении, проверим условия нахождения пластины в рав­новесном состоянии:

Уравнения равновесия удовлетворяются, следовательно, пласти­на находится в