Пример расчета (задача № 21)

Для трехстержневой системы (рис. 10.10, а) при условии, что диаграмма растяжения для стержней имеет участок упрочнения (рис. 10.10, б), при следующих исходных данных: a = 30°; l = 1,0 м; F = 2×10^-4 м² - площади поперечных сечений стержней; E = 2×10⁸ кН/м² - модуль упругости материалов стержней; s_T = = 2,5×10⁵ кН/м² - предел упругости материала; s_B = 3,9×10⁵ кН/м² - временное сопротивление; e_B = 0,02 - значение деформации, соот­ветствующее напряжению s_B , требуется:

1. Определить абсолютные и относительные удлинения стерж­ней и значение силы P = P₁, при котором в наиболее напряженном стержне напряжения достигают предела упругости;

2. Определить абсолютные и относительные удлинения стерж­ней и значение силы P = P₂, при котором все элементы заданной системы переходят в пластическую стадию деформирования;

3. Определить абсолютные и относительные удлинения стерж­ней и значение силы P = P₃, при котором в наиболее напряженном стержне напряжения достигают значения, равного временному со­противлению s_B , т.е. при дальнейшем увеличении силы P проис­ходит разрушение заданной системы;

4. Рассматривая систему (рис. 10.10, а) при отсуствии среднего стержня в процессе ее нагружения, определить абсолютные и отно­сительные удлинения элементов системы, и внешней силы P = P₄, при котором в ее элементах напряжения достигают значения, рав­ного временному сопротивлению s_B .

Рис. 10.10

Решение

1. Определить абсолютные и относительные удлине­ния стержней и значение силы P = P₁, при котором в наиболее напряженном стержне напряжения достигают предела упругости. Заданная система (рис. 10.10, а) один раз статически неопределима. Применяя метод сечений (рис. 10.10, б) и составляя уравнения равновесия статики, последовательно можем определить:

или

. (10.38)

Согласно деформированной схеме, изображенной на рис. 10.10, а, из геометрических соображений, уравнения для опре­деления относительных деформаций записываются в виде:

. (10.39)

С учетом , и принимая во внимание, что на первом этапе нагружения все элементы заданной системы деформируются согласно закону Гука, т.е. , получим:

. (10.40)

С учетом (10.40) из (10.38) и (10.39) можно получить следу­ющую замкнутую систему уравнений относительно усилий N₁ и N₂:

Откуда определяются:

. (10.41)

Для выражения напряжения в среднем в элементах заданной системы имеем:

(10.42)

Откуда следует, что s⁽²⁾ > s⁽¹⁾. Следовательно, в процессе на­гружения сначала средний стержень переходит в пластическую ста­дию деформирования, а затем боковые стержни, т.е. при всех на­гружения средний стержень, вплоть до стадии разрушения задан­ной системы, будет наиболее напряженным.

Принимая в (10.42), что s⁽²⁾ = s_T и P = P₁, окончательно полу­чим:

кН.

Абсолютные удлинения стержней принимают значения:

Относительные удлинения стержней принимают значения:

2. Определить абсолютные и относительные удлине­ния стержней и значение силы P = P₂, при котором все элементы заданной системы переходят в пластическую стадию деформирования. Физические уравнения взамен закона Гука в случае, когда стержни переходят в пластическую стадию деформирования, т.е. при s_T £ s £ s_B , e_T £ e £ e_B , в данном случае записываются в виде:

, (10.43)

которое представляет собой уравнение прямой линии, описыва­ющей диаграмму деформирования в области пластических дефор­маций (рис. 10.10, в).

В начале по очевидным соотношениям определяется значение деформаций e_T , соответствующее началу пластической стадии де­формирования стержней и модуля деформаций в пластической ста­дии их деформирования:

кН/м².

Заметим, что на данном этапе нагружения, т.е. когда P₁ £ P £ £ P₂, боковые элементы заданной системы деформируются упруго, а средний элемент - будет находиться в пластическом состоянии.

Учитывая, что при P = P₂ будем иметь s⁽²⁾= s_T , e⁽²⁾= e_T , по­следовательно определим значения усилий и абсолютное удлинение в боковых стержнях при их переходе в пластическую стадию де­формирования:

кН;

м.

Учитывая выражения (10.39) и (10.43) определяется значение абсолютного и абсолютного удлинения, а также усилия в среднем стержне, в момент перехода боковых стержней в пластическую стадию их деформирования:

м;

м;

кН.

Далее из уравнения равновесия (10.38) вычисляется величина внешней силы P = P₂:

кН.

3. Определить абсолютные и относительные удлине­ния стержней и значение силы P = P₃, при котором в наиболее напряженном стержне напряжения достигают значения, равного временному сопротивлению s_B , т.е. при дальнейшем увеличении силы P происходит разруше­ние заданной системы. Сначала вычисляем значения удлине­ний в боковых стержнях, при достижении в среднем стержне пре­дельных напряжений и деформаций s⁽²⁾= s_B , e⁽²⁾ = e_B .

Учитывая, что получим:

Таким образом, к моменту разрушения среднего стержня (s⁽²⁾= = s_B , e⁽²⁾ = e_B ) боковые стержни также находятся в пластической стадии деформирования. Напряжения в боковых стержнях, в мо­мент разрушения среднего стержня, принимают значения:

кН/м².

Для определения величины внешней силы P = P₃, т.е. значения силы в момент разрушения среднего стержня из уравнения равно­весия (10.38) имеем:

кН.

Как показывают результаты расчетов, для перехода среднего стержня в пластическую стадию деформирования необходима была внешняя сила P = P₁ = 119,5 кН, а для его разрушения - P = P₃ = = 200,97 кН.

На основании полученных результатов можно заметить, что если бы мы ограничивались только учетом упругой стадии работы конструкции, т.е. P £ P₁, то несущая способность заданной систе­мы оценивалась бы как P = P₁ = 119,5 кН.

Как показали расчеты, учет пластической стадии работы позво­лил выявить дополнительные резервы несущей способности задан­ной системы, т.к. величина разрушающей силы заданной системы в действительности равна P = P₃ = 200,97 кН.

В заключении определим величины абсолютных удлинений стержней в момент разрушения среднего стержня:

м;

м.

Легко определить во сколько раз абсолютные удлинения стерж­ней возросли за счет возникновения пластических деформаций по отношению к их абсолютным удлинениям в момент перехода среднего стержня от упругой к пластической стадии деформирова­ния:

раз;

раз.

4. Рассматривая систему (рис. 10.10, а) при отсутствии среднего стержня в процессе ее нагружения, определить абсолютные и относительные удлинения элементов сис­темы, и внешней силы P = P₄, при котором в ее элемен­тах напряжения достигают значения, равного времен­ному сопротивлению s_B . Исключая средний стержень, система превращается из статически неопределимой в статически опреде­лимую. Применяя метод сечений, легко установить, что уравнения равновесия в данном случае принимают следующий вид:

. (10.44)

В конце упругой стадии работы элементов заданной системы имеем, что s⁽¹⁾= s_T , e⁽¹⁾= e_T . С учетом данного обстоятельства последовательно определим значение усилия N₁, абсолютное удли­нение стержней и величину силы P = P₁, соответствующих концу упругой стадии работы данной системы:

кН;

м;

кН.

При дальнейшем нагружении системы, то есть при P > P₁ = = 86,6 кН, элементы данной системы переходят в пластическую стадию деформирования. Последовательно определим значение внутренних усилий, абсолютных удлинений и величину разруша­ющей силы P = P₂, при достижении напряжений и деформаций предельных значений. Т.е. при s⁽²⁾= s_B , e⁽²⁾= e_B :

кН;

м;

кН.

Анализируя полученные результаты, можно сделать следующие выводы.

Как и для трехстержневой статически неопределимой системы, так и для двухстержневой статически определимой системы, учет пластических деформаций позволил выявить дополнительные ре­зервы систем по несущей способности. Если бы мы ограничились только упругим расчетом, расчетная несущая способность двух­стержневой системы была бы равна P = P₁ = 86,6 кН. А за счет учета упруго-пластической работы элементов системы, как было показано, несущая способность будет исчерпана при P = P₂ = = 135,1 кН, т.е. при нагрузке в 1,56 раза больше, чем при упругом расчете.

Далее заметим, что за счет удаления одного среднего элемента из исходной системы, несущая способность и жесткость системы, соответственно, уменьшилась в и в = 16 раз.