Плоская задача в декартовых координатах
На практике различают два вида плоской задачи - плоскую деформацию и обобщенное плоское напряженное состояние.
В случае плоской деформации линейные деформации вдоль одной из координатных осей, например, оси z отсутствуют, а напряжения имеются ezz = 0; szz ¹ 0. Примером плоской деформации может служить деформация длинной стенки постоянного сечения, в случаях когда внешние нагрузки расположены в плоскостях, перпендикулярных оси z, где ось z направлена вдоль стенки.
Примером обобщенного плоского напряженного состояния может служить напряженно-деформированное состояние тонкой пластины, в случае, когда внешние нагрузки приложены по ее контуру и равномерно распределены по толщине пластины рис. 10.5.
Рис. 10.5
Расположим начало системы координат x, y, z в серединной плоскости пластины, а ось z направим перпендикулярно к ней, тогда будем иметь: ezz ¹ 0; szz = 0.
Плоская задача теории упругости, как и объемная задача, может быть решена как в перемещениях, так и в напряжениях.
Здесь рассмотрим решение плоской задачи обобщенного напряженного состояния в напряжениях допуская, что объемной силой является собственный вес, постоянный для всех точек тела. Пусть gy - вес единицы объема тела. В данном случае искомыми величинами являются следующие три компонента вектора напряжений sxx , syy , txy . Предполагая, что szz = 0 и все производные по оси z равны нулю, основные уравнения теории упругости значительно упростятся и примут вид:
уравнения равновесия
(10.27)
уравнения неразрывности деформации
; (10.28)
физические уравнения, т.е. закон Гука:
(10.29)
В результате совместного рассмотрения этих выражений получим:
Ñ2 (sxx + syy ) = 0, (10.30)
где - оператор Лапласа.
Следовательно, решение краевой задачи теории упругости в напряжениях, в случае обобщенного плоского напряженного состояния, упрощается и сводится к решению уравнения (10.30) с учетом граничных условий, заданных на контуре тела:
,
где v - внешняя нормаль к площадке; X, Y - компоненты полного напряжения на границе по осям x и y.
Решение плоской задачи теории упругости значительно упрощаются с использованием функции напряжений Эри j (x, y), выбранной таким образом, чтобы уравнения равновесия (10.27) превращались бы в тождества, т.е.:
. (10.31)
Подставляя первые два выражения (10.31) в (10.30) получим:
. (10.32)
Таким образом, решение плоской задачи в напряжениях сводится к решению уравнения (10.32) с учетом заданных в напряжениях граничных условий.
Дата добавления: 2015-12-29; просмотров: 998;