Возможные способы решения задач теории упругости
В общем случае искомыми величинами в задачах теории упругости являются функции перемещений, компоненты напряженного и деформированного состояний среды. Следовательно, в каждой точке тела подлежат определению 15 величин: три компоненты смещений - u, v и w; шесть компонент напряжений - sx , sy , sz , txy , txz и tyz ; шесть компонент деформаций - ex , ey , ez , gxy , gxz , gyz .
Очевидно, что для решения задачи в общем случае необходимо 15 уравнений, связывающих искомые величины, которые выполнялись бы не только внутри заданного тела, но и на его границе.
Полученные выражения (10.2), (10.16), (10.18), (10.19) образуют такую систему. Для однозначного решения задачи необходимо задание условий на контуре тела - граничных условий. Эти условия могут быть заданы в виде заранее определенных компонент напряжений (статические граничные условия) или компонент перемещений (кинематические граничные условия) или же комбинации тех и других (смешанные граничные условия).
Если заданы граничные условия и требуется оценить напряженно-деформированное состояние заданного тела, то такая задача называется прямой задачей теории упругости. Если же по заданным функциям напряженно-деформированное состояния рассматриваемого тела требуется найти граничные условия им соответствующие, то такая задача называется обратной задачей теории упругости.
Решение прямой задачи теории упругости можно вести разными способами. Если в качестве неизвестных принять функции перемещений - u, v и w, то полную система уравнений (10.2), (10.16), (10.18), (10.19) можно свести к следующим трем дифференциальным уравнениям относительно этих функций:
(10.21)
где - оператор Лапласа.
Уравнения (10.21) называются уравнениями Ляме. Граничные условия также необходимо выразить через перемещения. В итоге контурные напряжения запишутся через перемещения в следующем виде:
(10.22)
Если же в качестве неизвестных принять компоненты напряженного состояния в произвольной точке тела - sx , sy , sz , txy , txz и tyz , то к уравнениям равновесия (10.2) нужно присоединить уравнения совместности деформаций (10.17) и закон Гука (10.18-10.19). В результате совместного рассмотрения такой системы дифференциальных уравнений получаются так называемые уравнения Бельтрами:
(10.23)
где I1 - первый инвариант напряженного состояния в точке.
Произвольные постоянные, получаемые в результате интегрирования уравнений (10.23), находятся при учете граничных условий, выраженных в следующем виде:
где X, Y, Z - компоненты полного напряжения на границе.
Дата добавления: 2015-12-29; просмотров: 1105;