Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причём наблюдалось раз, - раз, и т.д. раз и - объём выборки.

Наблюдаемые значения называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, - вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объёму выборки - относительными частотами.

Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Следует отметить, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами.

Пусть - число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее - объём выборки. Относительная частота события равна . Если изменяется, то, вообще говоря, изменяется и относительная частота, т.е. относительная частота есть функция от . Так как эта функция находится опытным путём, то её называют эмпирической.

Эмпирической функцией распределения называется функция , определяющая для каждого значения относительную частоту события . Итак

.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция определяет вероятность события , а эмпирическая функция определяет относительную частоту этого же события.

Функция обладает следующими свойствами:

1) значения функции принадлежат отрезку ;

2) - неубывающая функция;

3) если - наименьшая варианта, то при ; если - наибольшая варианта, то при .

Пример 1. Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

1 4 6

10 15 25

Р е ш е н и е. . Наименьшая варианта равна 1, поэтому при . Значение , а именно , наблюдалось 10 раз, значит, при . Значение , а именно: и , наблюдалось 10+15=25 раз; следовательно, при . Так как - наибольшая варианта, то при .

Для наглядности строят различные графики статистического распределения и, в частности, полигон и гистограмму.

Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки , , . . . , .

При непрерывном распределении признака весь интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на ряд частичных интервалов длиной и находят - сумму частот вариант, попавших в i-ый интервал.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины , а высоты равны отношению . Площадь частичного -го прямоугольника равна - сумме частот вариант, попавших в -ый интервал. Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объёму выборки . Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною (плотность относительной частоты).

На рис. 3 изображена гистограмма частот по данному распределению выборки объёма .

Частичный интервал	Сумма частот вариант интервала	Плотность частоты
1 – 5		2,5
5 – 9
9 – 13		12,5
13 – 17
17 – 21