Доверительный интервал

Точечной называется оценка, которая определяется одним числом. Все оценки, рассмотренные выше, – точечные. При выборке малого объёма точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра. По этой причине при небольшом объёме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называется оценка, которая определяется двумя числами - концами интервала. Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика служит оценкой неизвестного параметра и будем считать . Очевидно, тем точнее определяет , чем меньше абсолютная величина разности . Другими словами, если и , то чем меньше , тем точнее оценка. Таким образом, положительное число характеризует точность оценки.

Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка удовлетворяет неравенству . Можно лишь говорить о вероятности , с которой это неравенство осуществляется.

Надёжностью (доверительной вероятностью) оценки по называется вероятность , с которой осуществляется неравенство , т.е. .

Обычно надёжность оценки задаётся наперёд, причём в качестве берут число, близкое к единице: 0,95; 0,99; 0,999.

Пусть . Откуда . Это соотношение означает, что вероятность того, что интервал заключает в себе неизвестный параметр , равна .

Доверительным интервалом называется интервал , который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью .

Основной задачей применения выборочного метода является определение по данным выборочного обследования признаков, характеризующих генеральную совокупность. В частности, выборочное наблюдение проводится для определения границ, в которых должна находиться генеральная средняя, а также для определения по данным о выборочной доле границ, в которых должна находиться генеральная доля. Такая постановка вопросов требует применения теоремы Лапласа в виде

(| - |<δ) ,

где - генеральная средняя, - выборочная средняя, - средняя квадратическая ошибка выборки.

При решении всех таких вопросов требуется применение величины , выражающей среднюю ошибку репрезентативности. Значения этой ошибки определяется по четырём формулам:

- для случайной повторной выборки при определении средней признака

,

где обозначает дисперсию средней ( ) в выборке, причём генеральная дисперсия заменяется дисперсией случайной величины в выборке (поскольку генеральная дисперсия неизвестна);

- для случайной повторной выборки при определении доли признака

,

где обозначает доли данного и противоположного признака в выборке;

- для случайной бесповторной выборки при определении средней

,

где обозначает необследованную часть генеральной совокупности;

- для случайной бесповторной выборки при определении доли

.

Пример 2. Из партии, содержащей 8000 деталей, было проверено 1000 деталей. Среди них оказалось 4% нестандартных. Определить вероятность того, что доля нестандартных деталей во всей партии, отличается от их доли в выборке ( не более чем на 0,015 , если выборка: а) повторная, б) бесповторная.

Р е ш е н и е . а) повторная выборка

, ;

б) бесповторная выборка

,