Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическим ожиданием дсв называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности и обозначается .

Если дсв задана законом распределения

, то

Пусть произведено испытаний, в которых случайная величина приняла раз значение , раз значение , …, раз значение , причём + +…+ = . Тогда сумма всех значений, принятых , равна . Найдём среднее арифметическое всех значений . Итак, . Вероятностный смысл полученного результата таков: математическое ожидание приближённо равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, т.е.

В самом деле, постоянную можно рассмотреть как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение и принимает его с вероятностью .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. .

.

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е.

Если , то

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых, т.е. .

Если , то

+

, т.к. .

5. Математическое ожидание числа появлений события А в независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытаний, т.е.