Локальная теорема Лапласа

Формула Бернулли применяется, как правило, при небольших значениях . Если число испытаний достаточно велико, то в этом случае применяется локальная теорема Лапласа:

Теорема. Если вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в испытаниях ровно раз , приближённо равна значению функции

.

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции , соответствующие положительным значениям аргумента . Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, т.к. функция четна, т.е. .

Итак, вероятность того, что событие А появится в независимых испытаниях ровно раз, приближённо равна

.

Формула Пуассона

Чуть изменим условие поставленной задачи, а именно, найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала ( ), событие наступит ровно раз. В этих случаях ( велико, прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Сделаем важное допущение: произведение сохраняет постоянное значение, а именно, Воспользуемся формулой Бернулли для вычисления интересующей нас вероятности: (т.к. , то ) = . Приняв во внимание, что имеет большое значение, вместо найдём . При этом будет найдено лишь приближённое значение отыскиваемой вероятности: хотя и велико, но конечно, а при отыскании предела мы устремим к бесконечности. Заметим, что поскольку произведение , сохраняет постоянное значение, то при вероятность . Итак,