Теорема умножения вероятностей. Теорема. Вероятность совместного наступления двух событий (АВ) равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность второго

Теорема. Вероятность совместного наступления двух событий (АВ) равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность второго, вычисленную в предположении, что первое событие наступило, т.е. .

Доказательство. Пусть наступлению события А благоприятствуют исходов из равновозможных, не совместных и единственно возможных. Тогда безусловная вероятность события А будет равна

.

Пусть далее из исходов, при которых наступает событие А, наступлению события В благоприятствуют исходов ( ). Тогда условная вероятность события В, вычисленная в предположении, что произошло событие А, будет равна

.

Вычислим теперь вероятность наступления событий и А, и В. Совместное наступление событий и А, и В может иметь место только в случаях из равновозможных. Следовательно,

.

Разделив и умножив эту дробь на , получим

.

Заметим, что .

Вероятность совместного наступления нескольких взаимозависимых событий (АВС…LК) равна произведению вероятности первого события на условную вероятность второго в предположении, что первое наступило, на условную вероятность третьего в предположении, что первые два наступили, и т.д., т.е.

Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е. .

Доказательство. Из доказанной теоремы следует . Так как события А и В независимы, то . Следовательно, .

Вероятность совместного появления нескольких независимых событий А, В, С,…,К равна произведению вероятностей этих событий, т.е.

.