Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Рассмотрим интервал и определим вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значения, заключённые в этом интервале. Согласно свойству 2 имеем . Разделим эту величину на ширину интервала , получим величину вероятности, приходящейся на единицу длины интервала: , которую назовём средней плотностью распределения вероятности на интервале . Введём понятие плотности распределения вероятности в данной точке , определив её как предел средней плотности на интервале при условии, что и указанный предел существует. Обозначим эту плотность распределения вероятностей через , тогда
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют функцию - первую производную от функции распределения :
Зная плотность распределения , можно найти функцию распределения . А именно . Таким образом:
Заметим, что закон распределения непрерывной случайной величины может быть задан как функцией распределения, так и плотностью распределения. Для дискретной случайной величины имеет смысл только функция распределения вероятностей (почему?).
Найдём вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу . . Итак
Плотность распределения обладает следующими свойствами:
1. .
2.
В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то
.
Из дифференциального исчисления известно, что . Так как , получим
.
Последнее выражение означает: вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , приближённо равна произведению плотности вероятности в точке на длину интервала . В этом заключается вероятностный смысл плотности распределения.
Дата добавления: 2015-12-29; просмотров: 753;